补充数学/微积分
微积分，过去被称为无穷小微积分，是数学的一个分支。正如几何学是研究形状，代数是算术运算（四则运算）的推广一样，微积分是关于连续变化的数学研究。
微积分有两个分支：微分微积分和积分微积分。微分微积分研究曲线变化率和斜率，而积分微积分处理曲线下方的面积和值的累积。这两个分支通过微积分基本定理相互联系，并使用序列和无穷级数收敛到明确定义的极限的基本概念。
无穷小微积分是在 17 世纪后期由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立发展起来的。如今，微积分已在科学、工程和经济学领域得到了广泛的应用。
在古代，一些想法导致了积分微积分。但这些想法似乎没有导致一种系统且稳定的方法。计算体积和面积是积分微积分的目的之一，这可以在莫斯科纸草书（埃及第十三王朝，约公元前 1820 年）中找到；但这些公式只是简单的食谱，没有对特定方法的指示，因此其中一些食谱缺乏主要成分。
从希腊数学时代开始，欧多克斯（约公元前 408-355 年）使用阿芙纳的方法（在发现极限概念之前做了类似的事情）来计算面积和体积，而阿基米德（约公元前 212-287 年）发展了这种方法，发明了一种类似于积分微积分方法的启发式方法。
在中东，伊本·海赛姆（拉丁语：Alhazen）（公元 965-1040 年）推导出四次方之和的公式。他利用了我们现在称为该函数积分的结果，这些平方和以及四次方之和的公式也使他能够计算抛物线的体积。
在 14 世纪，印度数学家提出了一种不稳定的方法，类似于微分，可以应用于一些三角函数。
在欧洲，基本工作以博纳文图拉·卡瓦列里的著作形式出现。他声称体积和面积应该写成具有无穷小部分的体积和面积之和。这些想法与阿基米德在他名为“方法”的著作中所做工作类似，但他们认为阿基米德的著作在 13 世纪丢失，并在 20 世纪重新发现，因此卡瓦列里不知道它的存在。
对微积分的正式研究将卡瓦列里的无穷小方法与同时在欧洲发展起来的有限差分微积分结合在一起。皮埃尔·德·费马声称“尽可能相等”的概念（他用拉丁语创造了“相等”这个词来表示这个概念）的灵感来自丢番图。这个概念表示在无穷小误差项内相等。这些概念的结合是由约翰·沃利斯、艾萨克·巴罗和詹姆斯·格雷戈里完成的，后两位在 1670 年左右证明了算术基本定理第二定理。
艾萨克·牛顿使用一种奇怪的符号来解决数学和物理问题，他使用了乘法规则和链式法则，高阶导数的概念和泰勒级数，以及解析函数。在他的著作中，牛顿以一种与当时方法相符的方式重新表述了他的想法，因为他用几何等价物代替了无穷小的计算。他用来解决行星运动、旋转流体表面形状、地球在两极的膨胀（两极膨胀）、重物沿轮子滑动的运动等问题，以及他在他的著作中讨论的许多其他问题（《自然哲学的数学原理》一书，于公元 1687 年出版）中使用了算术方法。在他的其他著作中，他使用函数的级数展开，包括分数和非指数幂，因此很明显他理解了泰勒级数的原理。但他没有公开所有这些发现，而且在那时，使用无穷小方法仍然处于糟糕的历史中，没有合适的方面。
这些想法导致了由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨组织的真实无穷小微积分。牛顿最初指责莱布尼茨剽窃。他现在被认为是微积分的独立发明者和贡献者。他的贡献是提供了一套清晰的规则来处理无穷小的值，这使得计算二阶和更高阶的导数成为可能，并在微分和积分形式中提供了乘法规则和链式法则。与牛顿相反，莱布尼茨非常重视形式化，以至于他经常花几天时间来确定概念的适当符号。
如今，莱布尼茨和牛顿都因发明和独立发展微积分而受到赞誉。牛顿是第一个将微积分应用于一般物理学的人，而莱布尼茨是第一个使用现代微积分中使用的许多符号的人。牛顿和莱布尼茨提供的基本见解包括：微分和积分定律、二阶及更高阶导数，以及使用多项式级数进行逼近的概念。到牛顿时代，微积分基本定理已经为人所知。
自莱布尼茨和牛顿以来，许多数学家为微积分的持续发展做出了贡献。1748 年由玛丽亚·盖塔娜·阿涅西撰写的关于无穷小微积分和积分微积分的第一部最完整的著作之一。
无穷小微积分用于物理和天文学问题的应用与科学诞生的同时代。在整个 18 世纪，这些应用不断增加，直到拉普拉斯和拉格朗日将广泛的力学研究带入了分析领域。我们将势理论引入动力学的功劳归于拉格朗日（1773 年），尽管“势函数”这个名称以及该主题的基本记忆归功于格林（1827 年，出版于 1828 年）。“势”这个名称归功于高斯（1840 年），势与势函数之间的区别归功于克劳修斯。随着它的发展，莱昂·狄利克雷、黎曼、冯·诺伊曼、海涅、克罗内克、利普希茨、克里斯托费尔、基尔霍夫、贝尔特拉米以及这个世纪的许多杰出物理学家的名字是。
在本文中，不可能深入探讨分析用于物理问题的各种其他应用，包括欧拉对振动弦的研究。索菲·热尔曼关于弹性膜；泊松、拉梅、圣维南和克莱布什关于三维物体的弹性。二月在热释放。菲涅尔在光；麦克斯韦、亥姆霍兹和赫兹在电。汉森、希尔和吉尔登关于天文学。麦克斯韦关于球谐函数。瑞利勋爵关于声学。以及莱昂·狄利克雷、韦伯、基尔霍夫、F 的贡献。亥姆霍兹的劳动值得特别提及，因为他对动力学、电学等理论做出了贡献，并将他的强大分析能力应用于力学的基本原理以及纯数学。
此外，无穷小微积分从新古典经济学开始进入社会科学。如今，它是主流经济学中的一种有价值的工具。
在微积分中，“基础”指的是从公理和定义出发对该学科的详细发展。在早期的计算中，使用无穷小值被认为是不精确的，并受到许多作者的强烈批评，特别是米歇尔·罗尔和乔治·贝克莱主教。1734 年，贝克莱在他的著作《分析家》中将无穷大描述为消失量体的幽灵。自从牛顿和莱布尼茨以来，建立微积分的精确基础困扰着数学家一个世纪，并且至今仍然是活跃的研究领域。
包括麦克劳林在内的几位数学家试图证明使用无穷小的合理性，但直到 150 年后，由于柯西和魏尔斯特拉斯的工作，才最终找到了一种方法来避免仅仅“概念”上的无穷小。微积分的基础由此建立起来。在柯西的《分析教程》中，我们找到了许多基本方法，包括用无穷大定义连续性，以及在微分定义中（ε，δ）-极限定义的（不太精确的）原型。在魏尔斯特拉斯的工作中，他形式化了极限的概念，消除了无穷小（尽管他的定义实际上可以证实无穷小零平方的存在）。继魏尔斯特拉斯的工作之后，最终人们开始普遍地将微积分建立在极限而不是无穷小的基础上，尽管这有时仍然被称为“无穷小微积分”。伯恩哈德·黎曼利用这些思想给出了积分的精确定义。也是在这个时期，随着复分析的发展，微积分的思想扩展到了复数领域。
在现代数学中，微积分的基础被纳入实分析领域，其中包括微积分定理的定义和完整证明。对微积分的访问也得到了极大扩展。亨利·勒贝格基于埃米尔·博雷尔早期的发展建立了测度理论，并用它定义了除最病态函数以外的所有函数的积分。洛朗·施瓦茨引入了可以用来对任何函数求导的分布。
极限不是建立微积分基础的唯一精确方法。另一种方法是使用亚伯拉罕·罗宾逊的非标准分析。罗宾逊的方法是在 1960 年代发展起来的，它利用数学逻辑中的技术工具来扩展实数系，加入无穷小，就像牛顿-莱布尼茨最初的概念一样。由此产生的数字被称为超实数，可以用来给出莱布尼兹式的扩展，就像通常的算术规则一样。还有光滑无穷小分析，它不同于非标准分析，因为它要求在推导过程中忽略更高幂的无穷小。
虽然微积分的许多思想已经在希腊、中国、印度、伊拉克、伊朗和日本得到发展，但微积分的使用始于 17 世纪，当时艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在他们的基础上进行了构建。更早的数学家引入了它的基本原理。微积分的发展基于瞬时运动和曲线下的面积的基本概念。
微积分的应用包括与速度和加速度、曲线斜率和优化相关的计算。积分学的应用包括面积、体积、弧长、质心、功和压力的计算。更高级的程序包括幂级数和傅里叶级数。
微积分还用于更精确地理解空间、时间和运动的本质。几个世纪以来，数学家和哲学家一直在努力解决与除以零或无限多个数字的总和有关的悖论。这些问题是在运动和面积的研究中提出的。古希腊哲学家埃利亚的芝诺给出了几个著名的这类悖论的例子。微积分提供了工具，尤其是极限和无穷级数，可以解决这些悖论。
微积分通常是通过处理非常小的值来发展的。从历史上看，第一种方法是在无穷小的帮助下完成的。这些是像实数一样可以处理的对象，但在某些方面“无限小”。例如，一个无穷小的数可能大于零，但小于序列 中的任何数，因此它小于任何正实数。从这个角度来看，算术是一组无穷小的操作技术。符号 和 被认为表示无穷小，导数，即 ，仅仅是这两个数的比值。
无穷小方法在 19 世纪被放弃，因为它很难使无穷小的概念变得精确。然而，这个概念在 20 世纪随着非标准分析和光滑无穷小分析概念的引入而复兴，它们为无穷小的操作提供了坚实的基础。
在 19 世纪末，无穷小在科学界被ε和δ方法定义的极限所取代。它根据函数在相邻输入处的数值描述了函数在特定输入处的一系列数值。这个工具在实数机器的背景下捕捉到了小范围的行为。在这种方法中，微积分可以被认为是一组操作某些极限的技术。无穷小被非常小的数字所取代，函数的无穷小行为通过它对更小和更小的数值的极限行为来获得。极限被认为为计算提供了坚实的基础，出于这个原因，这种方法在 20 世纪成为了标准方法。
微积分研究函数导数的定义、性质和应用。求导的过程称为“微分”。如果我们考虑一个函数及其定义域中的一个点，那么该点的导数是一种方法，它包括该函数在该点附近的小尺度行为。通过找到函数在其定义域的任何点的导数，可以生成一个新的函数，称为“导数函数”或简称“导数”。在正式的语言中，导数是一个线性算子，它以一个函数作为输入，并产生另一个函数作为输出。后一种描述比初等代数中研究的许多过程更加抽象，在初等代数中，函数的输入和输出只是数字。例如，如果考虑一个加倍函数，输入三将产生输出六，如果考虑一个平方函数，输入三将产生输出九。虽然求导以平方生成器函数的整个函数为输入，也就是说，与该函数的每个数值输入的数值输出相关的全部信息，并根据该信息构建另一个函数，即加倍函数。就是。
用更明确的语言来说，“加倍函数”可以表示为 ，“平方函数”可以表示为 。现在，“导数”以函数 为输入，该函数由表达式“”定义，并从中得到函数 。
导数最常见的符号是类似于撇号的符号，称为撇号（或波斯语中的 prim）。因此，像 这样的函数的导数写成 ，称为“f 撇”。例如，如果 是平方函数，那么 是它的导数（与上面讨论的加倍函数相同）。这种记法被称为拉格朗日记法。
应用
[edit | edit source]微积分被应用于物理科学、精算科学、计算机科学、统计学、工程学、经济学、商业、医学、人口统计学以及其他任何可以进行数学建模并找到最优解的问题的各个领域。所需。这使得人们可以从（非恒定的）变化率变为总变化率，反之亦然，并且在研究问题时，我们经常会认识到一个并试图找到另一个。微积分可以与其他数学学科一起使用。例如，它可以与线性代数一起使用来找到给定域中一组点的“最佳拟合”线性近似。或者，它可以用于概率论，根据概率密度函数确定连续随机变量的期望值。在解析几何中，为了研究函数的图形，微积分用于寻找高点和低点（最大值和最小值）、斜率、凹凸性和转折点。微积分还用于寻找方程的近似解。在实践中，这是求解微分方程和在大多数应用中寻找根的标准方法。例如，存在牛顿法、不动点迭代和线性逼近等方法。例如，航天器使用改进的欧拉方法来近似零重力环境中的弯曲轨迹。
物理学特别利用微积分。经典力学和电磁学中的所有概念都通过微积分相互关联。物体的质量（已知密度）、物体的转动惯量以及由于万有引力和电磁力引起的势能都可以通过微积分求得。微积分在力学中的一个例子是牛顿第二定律，它指出物体的动量对时间的导数等于合外力。另一方面，牛顿第二定律可以表示为合外力等于物体的质量乘以它的加速度，加速度是速度对时间的导数，因此是位置对时间的二阶导数。从知道物体如何加速开始，我们使用微积分来推导出它的路径。
麦克斯韦电磁理论和爱因斯坦的广义相对论也用微分学的语言表达。化学也利用微积分来确定反应速率和研究放射性衰变。在生物学中，种群动力学从繁殖率和死亡率开始，以模拟种群的变化。
格林定理，它表达了围绕简单闭合曲线 C 的线积分与由 C 围成的平面区域 D 上的二重积分之间的关系，被应用于一种称为面积计的仪器，该仪器用于计算平面的面积。将在绘画上。例如，它可以用于在设计一块地布局时，计算形状不规则的花坛或游泳池所占用的面积。
在医学领域，微积分可以用来找到血管的最佳分叉角，以最大限度地提高血流。微积分可以用来找出药物从体内消除的速度或癌性肿瘤生长速度。
在经济学中，微积分使人们能够通过提供一种轻松计算边际成本和边际收益的方法来确定最大利润。
类型
[edit | edit source]多年来，人们已经探索了微积分的许多重新表述，以用于各种目的。
从1870年代开始，对微小无穷小的不精确计算在很大程度上被精确的 (ε, δ) 极限定义所取代。与此同时，人们继续使用无穷小进行计算，通常能得到正确的结果。这促使阿布拉罕·罗宾逊研究是否可以创建一个包含无穷小量的数字系统，同时仍然满足微积分的定理。1960年，他在埃德温·霍伊特和耶日·洛什作品的基础上成功地发展了非标准分析。非标准分析理论十分丰富，可以应用于许多数学分支。因此，仅讨论传统微积分定理的书籍和文章通常被称为非标准微积分。
这是另一种基于无穷小的微积分重新表述。它基于 F.W. 劳埃尔的思想，使用范畴论的方法，将所有函数都视为连续的，并且无法表达离散实体。这种表述的一个特点是它不包含排中律。
构造性数学是数学的一个分支，它坚持认为证明一个数字、函数或其他数学对象的存在必须提供该对象的结构。因此，构造性数学也拒绝排中律。在构造框架内重新表述微积分通常是构造性分析的一部分。