补充数学/圆锥曲线

在数学中，圆锥曲线（或简称为圆锥，有时称为二次曲线）是由圆锥面与平面的交线形成的曲线。圆锥曲线有三种类型：双曲线、抛物线和椭圆。圆是椭圆的特例，尽管在历史上它有时被称为第四种类型。古希腊数学家研究了圆锥曲线，最终在公元前 200 年左右，阿波罗尼奥斯·佩尔盖系统地阐述了它们的性质。

定义

圆

圆是平面上到定点O距离相等的点的集合。从圆心到圆周的距离称为半径，点O称为圆心。半径的两倍称为直径D=2r。圆心角是圆周角，等于360°或 $2\pi$ 弧度。

在周长相同时，圆的面积最大；在面积相同时，圆的周长最小。

椭圆

在数学中，**椭圆**是平面曲线，它围绕着两个焦点，使得曲线上的所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。它概括了圆，圆是两个焦点重合的椭圆的特例。椭圆的伸长程度由它的偏心率 $e$ 来衡量，这个数值在 $e=0$ （圆的极限情况）到 $e=1$ （无限伸长的极限情况，不再是椭圆而是抛物线）。

抛物线

在数学中，**抛物线**是平面曲线，它关于一条直线对称，并且形状近似于 U 形。它符合若干表面上不同的数学描述，但都可以证明它们定义了完全相同的曲线。

梅涅克穆斯研究了抛物线，试图解决倍立方问题。梅涅克穆斯通过找到两个抛物线 $x^{2}=y$ 和 $y^{2}=2x$ 的交点来解决这个问题。欧几里得写了关于抛物线的著作，阿波罗尼奥斯给它起了现在的名字。帕斯卡尔认为抛物线是圆的投影，伽利略证明了在均匀重力作用下坠落的抛射体遵循抛物线轨迹。格雷戈里和牛顿考虑了抛物线的焦散性质，它可以将平行光线汇聚到焦点（MacTutor 档案），如上图所示。

双曲线

双曲线的每个分支都有两条渐近线，它们离双曲线中心越远，就越直（曲率越低）。来自每个分支的对角线相对的渐近线，在无限远处趋向于一条共同的直线，称为这两条渐近线的渐近线。所以有两条渐近线，它们相交于双曲线的对称中心，可以看作是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。对于曲线，渐近线是两条坐标轴。

双曲线与椭圆共享许多分析性质，如偏心率、焦点和准线。通常，只要在某些项中改变符号，就可以建立这种对应关系。许多其他数学对象起源于双曲线，例如双曲抛物面（鞍面）、双曲面（“废纸篓”）、双曲几何（罗巴切夫斯基著名的非欧几何）、双曲函数（sinh，cosh，tanh 等）和旋量空间（一种被提议用于相对论和量子力学中的几何，它不是欧几里德几何）。

圆锥曲线的方程

圆锥曲线可以在合适的 x-y 坐标系中用二阶方程来描述

椭圆，中心 M 在点 (0,0) 处，长轴在 x 轴上
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b=|MS_{3}|,\qquad a,b\neq 0\quad ,$ （见图）。（当 $a=b=r$ 时，即为圆）。
抛物线，顶点在点（0,0），对称轴为 y 轴
$y=ax^{2},\quad a={\frac {1}{4|SF|}},\qquad a\neq 0\quad ,$ （见图）。
双曲线，中心 M 在点（0,0），实轴在 x 轴上
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b^{2}=|MF_{1}|^{2}-a^{2},\ qquada,b\neq 0\quad ,$ （见图）。
相交的直线对，交点在点（0,0）
$a^{2}x^{2}-y^{2}=0,\ a\neq 0.$
直线，过点（0,0）
$x^{2}=0.$
点，点（0,0）
$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=0,\ a,b\neq 0.$

为了完整起见，我们还添加了两种情况，它们虽然不能作为实际的圆锥曲线，但也是由二阶方程描述的。

平行直线对
$x^{2}=a^{2},\ a\neq 0.$
空集:
$x^{2}+y^{2}=-1$ 或 $x^{2}=-1$ 。

最后两种情况可以看作是直圆柱的平面截面。圆柱可以看作是顶点在无穷远处的圆锥的极限情况。因此，这两种情况也被包含在圆锥曲线中。

单位圆锥的平面截面

conic-cases 为了确定上面提到的曲线/点作为圆锥曲线实际上发生在圆锥与平面相交时，这里我们用单位圆锥（直圆锥） $K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 与平行于 y 轴的平面相交。由于圆锥是旋转对称的，所以这不是一个限制。任何直圆锥都是单位圆锥 $K_{1}$ 的仿射像，椭圆/双曲线/抛物线/... 在仿射变换下仍然保持不变。

已知：平面 $\varepsilon \colon ax+cz=d\ ,$ 锥面 $K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2}$ .

求：交集 $\varepsilon \cap K_{1}$ .

情况 I： $c=0$ $c=0$ 在这种情况下，平面垂直于 $a\neq 0$ $a\neq 0$ 且 $x=d/a$ $x=d/a$ . 消去 $x$ $x$ 从锥面方程中得到 $z^{2}-y^{2}=d^{2}/a^{2}$ $z^{2}-y^{2}=d^{2}/a^{2}$ .
- 情况 Ia: $d=0$ 。在这种情况下，交集由一对直线 $t(0,1,\pm 1),\ t\in \mathbb {R} .$ 组成。
- 情况 Ib: $d\neq 0$ 。上述方程现在描述了 y-z 平面中的双曲线。因此，交集曲线 $\varepsilon \cap K_{1}$ 本身是一条双曲线。
情况 II： $c\neq 0$ $c\neq 0$ 。如果使用平面方程从锥面方程中消去 $z$ $z$ ，则得到方程组 $(1)\quad (c^{2}-a^{2})x^{2}+2adx+c^{2}y^{2}=d^{2},\qquad (2)\quad ax+cz=d.$ $(1)\quad (c^{2}-a^{2})x^{2}+2adx+c^{2}y^{2}=d^{2},\qquad (2)\quad ax+cz=d.$
- 情况 IIa: 对于 $d=0$ ，平面穿过圆锥的顶点 $(0,0,0)$ ，公式 (1) 现在变为 $(c^{2}-a^{2})x^{2}+c^{2}y^{2}=0$ .
  对于 $c^{2}>a^{2}$ ，交点为点 $P_{0}=(0,0,0)$ .
  
  对于 $c^{2}=a^{2}$ ，交点为直线 $t(c,0,-a),\ t\in \mathbb {R} .$
  
  对于 $c^{2}<a^{2}$ ，交点为一对直线 $t(c/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}},1,-a/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}),\ t\in \mathbb {R} .$
- 情况 IIb: 对于 $d\neq 0$ ，平面不穿过圆锥的顶点 且不垂直。
  对于 $c^{2}=a^{2}$ ，(1) 变为 $x=-{\frac {c^{2}}{2ad}}y^{2}+{\frac {d}{2a}}$ ，交点曲线为抛物线。
  
  对于 $c^{2}\neq a^{2}$ ，我们将 (1) 变换为 ${\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{d^{2}c^{2}}}\left(x+{\frac {ad}{c^{2}-a^{2}}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{d^{2}}}y^{2}=1$ 。
  
  当 $c^{2}>a^{2}$ 时，交线是椭圆，
  
  当 $c^{2}<a^{2}$ 时，存在双曲线。

交线的参数表示可以在网络链接CDKG的第106-107页找到。

总结

如果切割平面不包含圆锥的顶点，则结果是非退化圆锥曲线（见图 Ib，IIb），即抛物线、椭圆或双曲线，取决于圆锥轴被切割平面相交的角度是与圆锥的母线相同、更大还是更小。
另一方面，如果圆锥的顶点位于截面内，则会形成退化圆锥曲线（见图 Ia，IIa），即点（即圆锥的顶点）、直线 '（即一条表面线）或相交的直线对（即两条表面线）。

圆锥曲线束

一个（非退化）圆锥曲线完全由平面上一般位置的五个点（没有三个点共线）确定，并且通过一组固定的四个点（同样在一个平面上，没有三个点共线）的圆锥曲线系统被称为圆锥曲线束。四个公共点被称为该束的基点。除了基点以外的任何点，都有一条唯一的圆锥曲线束通过它。这个概念概括了圆的束。

在一个定义在代数封闭域上的射影平面中，任何两个圆锥曲线都交于四个点（按重数计算），因此，确定了基于这四个点的圆锥曲线束。此外，四个基点确定了三个直线对（通过基点的退化圆锥曲线，每对直线中的每条线恰好包含两个基点），因此每个圆锥曲线束最多包含三个退化圆锥曲线。

一个圆锥曲线束可以用以下方式代数地表示。设 $C 1$ 和 $C 2$ 是定义在代数封闭域 $K$ 上的射影平面中的两个不同的圆锥曲线。对于 $K$ 中的元素 $λ, μ$ 的每一对，只要不都为零，表达式

\lambda C_{1}+\mu C_{2}

表示由 $C 1$ 和 $C 2$ 确定的束中的一个圆锥曲线。这个符号表示可以通过轻微滥用符号来具体化（使用相同的符号来表示对象及其定义对象的方程）。将 $C 1$ 视为一个三元二次形式，那么 $C 1 = 0$ 是“圆锥曲线 $C 1$ ”的方程。另一个具体的实现方法是将 $C 1$ 视为一个3×3对称矩阵，它代表着这个圆锥曲线。如果 $C 1$ 和 $C 2$ 具有这样的具体实现，那么上述束中的每个成员也将具有这样的实现。由于设置在射影平面中使用齐次坐标，如果两个具体表示（无论是方程还是矩阵）相差一个非零的乘法常数，那么它们表示的是同一个圆锥曲线。