补充数学/微分几何

微分几何是数学的一个分支，它处理光滑形状和光滑空间的几何，也称为光滑流形。它使用微积分、积分学、线性代数和多线性代数的技术。这个领域起源于对球面几何的研究，可以追溯到古代。它也与天文学、地球大地测量学以及后来洛巴切夫斯基对双曲几何的研究有关。最简单的平面空间例子是欧几里得三维空间中的曲线和平面，对这些形式的研究是 18 世纪和 19 世纪现代微分几何发展的基础。一个浸入鞍形平面（双曲抛物面）的三角形，以及两条发散的超平行线。自 19 世纪后期以来，微分几何已经发展成为一个通常关注可微流形上几何构造的领域。几何结构是定义大小、距离、形状、体积或其他刚性结构的概念的结构。例如，在黎曼几何中，距离和角度是指定的，在辛几何中可以计算体积，在等距几何中只指定角度，在规范理论中，某些场是在空间上给出的。微分几何与微分拓扑密切相关，有时也包括微分拓扑，它关注的是不依赖于任何其他几何结构的可微流形的性质（有关这两个领域之间区别的进一步讨论，请参阅该文章）。微分几何也与微分方程理论的几何方面有关，这也被称为几何分析。微分几何被广泛应用于数学和自然科学。微分几何的语言被阿尔伯特·爱因斯坦在他的广义相对论中进一步使用，后来被物理学家用于发展量子场论和粒子物理的标准模型。在物理学之外，微分几何被用于化学、经济学、工程学、控制理论、计算机图形学和计算机视觉，以及最近的机器学习。