补充数学/傅里叶级数

傅里叶级数是对诸如 f(x) 之类的函数的周期性展开，它用无穷多个正弦和余弦函数的和来表示，展开形式为指数形式。 也用于傅里叶级数。 傅里叶级数的研究是微积分学的一个分支，被称为谐波分析。 当然，这个主题可以是三角集中的任意音调函数。 以及积分来匹配。

特别地，由于线性齐次常微分方程的解满足叠加原理，如果可以为单个正弦曲线求解此类方程，则通过以傅里叶形式表示原始函数，可以立即得到任意函数的解。 是。 连接级数，然后为每个正弦分量求解。 在某些特殊情况下，如果傅里叶级数可以以闭合形式求和，则此技术甚至可以产生解析解。

任何构成完整正交系的函数集都具有类似于傅里叶级数的广义傅里叶级数。 例如，利用第一类贝塞尔函数的根的正交性得到所谓的傅里叶-贝塞尔级数。

周期函数的傅里叶级数

例如，诸如正弦、余弦和指数eikx之类的表达式可以用来定义傅里叶级数。 它提供了方波（1 或 0 或 -1），这些方波是不错的例子，以及导数中的狄拉克函数。 为了呈现尖峰和阶跃函数，以及斜面等，贝叶斯研究了它们的展开应该如何从理论上和数学上找到。 你应该先从sin x 开始。 这种傅里叶级数理论有一个周期为2π的sin(x + 2π) = sin x。 因为它是一个奇函数，因为 sin(-x) = - sin x，并且在 x = 0 和 x = π 处消失。 每个sin nx函数都有这三个性质，傅里叶研究了正弦的无限组合

$S(x)=b_{1}\sin x+b_{2}\sin 2x+b_{3}\sin 3x+...=\sum _{k=1}^{N}b_{n}\sin nx$

如果我们假设傅里叶级数中的数字下降得足够快，那么集合 S(x) 将具有三个特征。 在这个假设中，衰减率和代码的重要性得到了预测。

周期性 S(x + 2π) = S(x) 奇数 S(−x) = −S(x) S(0) = S(π) = 0

200 年前，法国数学家约瑟夫·傅里叶提出了一个有趣的建议，扩展了傅里叶级数。约瑟夫·傅里叶认识到，具有这些性质的函数 S(x) 的级数可以写成一个无穷级数。他用正弦和余弦表示了它。这个想法开启了傅里叶级数发展的重要篇章。在傅里叶级数中，我们和您要做的第一步是计算乘以 S(x) 中的 sin kx 或 cos kx 的系数 bk。

如果我们假设 $S(x)=\sum b_{n}\sin(nx)$ 的展开式，两边都可以乘以 sin kx。如果从 0 到 π 对其进行积分，则积分结果为

$\int _{0}^{\pi }S(x)=\sin(kx)dx=\int _{0}^{\pi }b_{1}\sin(x)\sin(kx)dx+\int _{0}^{\pi }b_{2}\sin(2x)\sin(kx)dx+...+\int _{0}^{\pi }b_{k}\sin(kx)\sin(kx)dx$

在右侧，除了 n = k 的突出显示的积分外，所有积分都为零。这种“正交”特性将贯穿整个章节。当它们在 0 到 π 的范围内进行积分时，它们在函数空间中形成 90◦ 角。

$\int _{0}^{\pi }\sin(nx)\sin(kx)dx$