补充数学/数学

数学是计算数字的艺术，也研究数量（数论）、结构（代数）、空间（几何）和变化（数学分析）等主题。事实上，并没有一个得到所有人认可的关于数学的普遍定义。

大多数数学活动都涉及通过纯粹推理发现和证明抽象对象的性质。这些对象要么是对自然界的抽象，例如自然数或直线，要么是现代数学中的实体，它们具有某些称为公理的性质。一个论证由一组对已知结果（包括先前证明的定理、公理和（如果从自然界抽象）一些作为所考虑理论的实际起点而被接受的基本性质）的一些演绎规则的应用组成，论证的结果被称为定理。

数学被广泛应用于科学中对现象进行建模。这使得从经验定律推导出定量预测成为可能。例如，行星的运动可以用牛顿万有引力定律结合数学计算来精确预测。数学真理独立于任何实验的事实表明，这种预测的准确性只取决于模型描述现实的充分性。不正确的预测表明需要改进或改变数学模型，而不是模型本身的数学是错误的。例如，水星近日点的进动不能用牛顿万有引力定律来解释，但可以用牛顿万有引力定律来精确解释。爱因斯坦的广义相对论 - 这个对爱因斯坦理论的实验验证表明，牛顿万有引力定律只是一个近似，尽管它在日常应用中是准确的。

数学在许多领域是必不可少的，包括自然科学、工程、医学、金融、计算机科学和社会科学。一些数学领域，如统计学和博弈论，是与它们的应用紧密联系起来发展的，通常被归类为应用数学。其他数学领域独立于任何应用而发展（因此被称为纯粹数学），但后来经常发现实际应用。一个很好的例子是整数因式分解问题，它可以追溯到欧几里得时代，但在被用于 RSA 密码系统（用于计算机网络安全）之前，它没有实际应用。

从历史上看，证明的概念以及与之相关的数学精确性首先出现在希腊数学中，特别是在欧几里得的《几何原本》中。从一开始，数学基本上就被分为几何和算术（数字和自然分数的操作）直到 16 世纪和 17 世纪，代数和微积分作为新的学科被引入。自那时起，数学创新与科学发现之间的相互作用导致了数学的快速发展。在 19 世纪末，数学基础危机导致公理化方法的系统化。这反过来导致了数学学科数量及其应用领域的显着增加。这种分类的一个例子是数学课程，它列出了六十多个一级数学领域。

历史

数学史可以看作是一系列不断抽象化的过程。许多动物可能共有的第一个抽象能力可能是数的概念：理解两颗苹果和两颗橘子的集合有什么共同之处，以及数量是它们的数。

史前的人们可以计算实物和抽象物体，如日子、季节和年份，这从木刻中可以得到证明。

直到公元前 3000 年才出现更复杂数学的证据，当时巴比伦人和埃及人开始使用算术、代数和几何来进行与税收和其他经济概念相关的计算，以及建筑或天文学。最古老的数学文本来自美索不达米亚和埃及，可以追溯到公元前 2000-1800 年。许多早期文本都提到了毕达哥拉斯三元组，因此看来毕达哥拉斯定理是发明三角学最重要的方法之一。

这个定理已经被不同的几何和代数方法证明了很多次，其中一些证明可以追溯到几千年前。它是继初等算术和几何之后最古老、最广泛的数学发展。在历史文献中，它是在巴比伦数学中首次出现初等算术（加、减、乘和除）。巴比伦人还使用一种位值设备，它实现了一种以 60 为基数的数字设备，这种设备至今仍在用于测量角度和时间。

随着公元前 6 世纪的开始，希腊数学家与毕达哥拉斯学派开始系统地研究数学，目的是更多地了解数学本身，这是希腊数学的开始。大约在公元前 300 年，欧几里得引入了主题原则方法，这种方法至今仍在数学中使用，包括定义、原则、定理和证明。他的参考书被称为《欧几里得几何原本》，被广泛认为是有史以来最成功和最有影响力的参考书。最伟大的古代数学家通常被认为是来自叙拉古的阿基米德（公元前 287-212 年）。他找到了计算旋转物体面积和体积的公式，并使用阿芙娜方法使用无限级数的和来计算抛物线下面积，这与现代微积分的方式并不不同。希腊数学的其他显着成就包括圆锥曲线（阿波罗尼乌斯，公元前 3 世纪）、三角学（希帕克，公元前 2 世纪）和代数的开始（丢番图，公元 3 世纪）。

今天全世界都在使用的印度-阿拉伯数字系统及其运算规则是在公元 1 千年期间在印度发展起来的，然后通过伊斯兰数学传到了西方世界。与印度数学相关的其他发展包括现代正弦和余弦的定义以及无限级数的早期形式。

在伊斯兰黄金时代，即公元 9 世纪和 10 世纪，数学取得了重要创新，这些创新基于希腊人的数学。伊斯兰数学最重要的成就是代数的发展。伊斯兰时期数学的其他重要成就包括球面三角学的进步以及小数的加入到阿拉伯数字系统中。这一时期的许多数学家都是波斯语使用者，例如花拉子密、卡西和托西。

在早期现代时期，数学开始在西欧迅速发展。牛顿和莱布尼茨在 17 世纪发展出的微积分彻底改变了数学。莱昂哈德·欧拉是 18 世纪最重要的数学家，他为数学增加了许多定理和发现。也许 19 世纪最重要的数学家是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯，他为代数、分析、微分几何、矩阵理论、数论和统计等各个数学分支做出了许多贡献。在 20 世纪初，库尔特·哥德尔通过发表其不完备性定理彻底改变了数学。这些定理表明，任何兼容的原则系统都包含不可证伪命题。

从那时起，数学得到了广泛的发展，数学与科学之间产生了富有成效的相互作用，这对两者都有益。数学发现至今仍在继续。据米哈伊尔·苏里乌克在 2006 年 1 月的《美国数学会通报》上发表的文章称，“自 1940 年（MR 开始运营的第一年）以来，数学评论数据库中的文章和书籍数量已达到 190 万篇，每年增长超过 75000 篇。这个海洋中的绝大多数作品都包含新的数学定理及其证明。

数学领域

文艺复兴之前，数学被分为两个主要领域：关于数字操作的算术和关于形状研究的几何。一些伪科学，如命理学和占星术，当时没有与数学明确区分。

在文艺复兴时期，出现了另外两个领域。数学符号导致了代数，简而言之，它包括公式的研究和操作。微积分包括两个子领域微分微积分和积分微积分，是关于连续函数的研究，这些函数模拟了变化量之间的典型非线性关系，如变量所表示的那样。这种划分为四个主要领域——算术、几何、代数、微积分——一直持续到 19 世纪末。当时，数学家研究了天体力学和固体力学等领域，但现在被认为属于物理学。组合学在大部分有记录的历史中都被研究过，但在 17 世纪之前并没有成为数学的一个独立分支。

在 19 世纪末，数学基础危机以及随之而来的公理化方法的系统化导致了数学新领域的爆发。2020 年数学学科分类包含不少于一级领域。其中一些领域对应于较旧的划分，这对于数论（高级算术的现代名称）和几何来说是正确的。几个其他一级领域在其名称中包含“几何”，或者通常被认为是几何的一部分。代数和微积分没有作为一级领域出现，而是分别被分成几个一级领域。其他一级领域是在 20 世纪出现的，或者以前没有被认为是数学，例如数学逻辑和基础。

数论

数论始于对数字的操作，即自然数 $(\mathbb {N} ),$ ，后来扩展到整数 $(\mathbb {Z} )$ 和有理数 $(\mathbb {Q} ).$ 数论曾经被称为算术，但现在这个词主要用于数值计算。数论可以追溯到古代巴比伦和可能还有中国。两位著名的早期数论学家是古希腊的欧几里得和亚历山大的丢番图。现代数论在抽象形式上的研究在很大程度上归功于皮埃尔·德·费马和莱昂哈德·欧拉。该领域随着阿德里安-马里·勒让德和卡尔·弗里德里希·高斯的贡献而走向成熟。

许多容易陈述的数字问题都有需要复杂方法的解决方案，这些方法往往来自数学领域。一个著名的例子是费马大定理。这个猜想是 1637 年由皮埃尔·德·费马提出的，但直到 1994 年才由安德鲁·怀尔斯证明，他使用了包括代数几何中的方案论、范畴论和同调代数在内的工具。另一个例子是哥德巴赫猜想，它断言每个大于 2 的偶数都是两个素数的和。该猜想是 1742 年由克里斯蒂安·哥德巴赫提出的，尽管付出了相当大的努力，但它仍然没有得到证明。

数论包括几个子领域，包括解析数论、代数数论、数论几何（方法导向）、丢番图方程和超越数论（问题导向）。

几何

几何学是数学最古老的分支之一。它始于关于形状的经验性配方，如线、角和圆，这些配方主要为测量和建筑的需求而发展，但自那时起已发展成为许多其他子领域。

一项基本创新是古希腊人引入证明的概念，它要求每个断言都必须得到证明。例如，通过测量来验证两个长度相等是不够的，它们的相等性必须通过对先前接受的结果（定理）和一些基本陈述进行推理来证明。基本陈述不受证明，因为它们是自明的（公理），或者是由所研究对象的定义组成（公设）。这一原理是所有数学的基础，它首先在几何学中得到阐述，并由欧几里得大约在公元前 300 年在他的著作《几何原本》中系统化。

由此产生的欧几里得几何学是研究从欧几里得平面（平面几何）和三维欧几里得空间中的线、平面和圆构建的形状及其排列。

欧几里得几何学在方法或范围上没有改变，直到 17 世纪，勒内·笛卡尔引入了现在称为笛卡尔坐标系的坐标系。这构成了一个主要的范式转变：它不再将实数定义为线段的长度（参见数轴），而是允许使用点的坐标来表示点，这些坐标是数字。因此，代数（以及后来的微积分）可以用来解决几何问题。几何学被分成两个新的子领域：合成几何学，它使用纯粹的几何方法，以及解析几何学，它系统地使用坐标系。

解析几何学允许研究与圆和线无关的曲线。这些曲线可以定义为函数的图形，其研究导致了微分几何。它们也可以定义为隐式方程，通常是多项式方程（它产生了代数几何）。解析几何学还使得研究超过三个维度的欧几里得空间成为可能。

在 19 世纪，数学家发现了非欧几里得几何，它不遵循平行公理。通过质疑该公理的真理性，这一发现被认为与罗素悖论一起揭示了数学基础的危机。这场危机的这一方面是通过系统化公理方法并接受所选公理的真理性不是数学问题而得到解决的。反过来，公理方法允许研究通过改变公理或通过考虑在空间的特定变换下不改变的性质而获得的各种几何学。

今天的几何学子领域包括

射影几何学，由 16 世纪的吉拉尔·德扎格引入，它通过在平行线相交的无穷远处添加点来扩展欧几里得几何学。这通过统一对相交线和平行线的处理来简化了许多古典几何学方面。
仿射几何学，研究与平行相关的性质，而与长度的概念无关。
微分几何学，研究曲线、曲面及其推广，这些推广是用可微函数定义的。
流形理论，研究不一定嵌入更大空间的形状。
黎曼几何学，研究弯曲空间中的距离性质。
代数几何学，研究曲线、曲面及其推广，这些推广是用多项式定义的。
拓扑学，研究在连续变形下保持的性质。
- 代数拓扑学，在拓扑学中使用代数方法，主要是同调代数。
离散几何学，研究几何学中的有限配置。
凸几何学，研究凸集，它在优化方面的应用使其变得重要。
复几何学，通过用复数代替实数而获得的几何学。

代数

代数是操作方程和公式的艺术。丢番图（3 世纪）和花拉子密（9 世纪）是代数的两位主要先驱。丢番图通过推导出新的关系来解决一些涉及未知自然数的方程，直到他得到解。花拉子密介绍了转换方程的系统方法，例如将一个项从方程的一边移动到另一边。术语“代数”源于阿拉伯语“al-jabr”，意思是“将断裂的部分重新组合起来”，他在其主要论文的标题中用它来命名这些方法之一。

代数成为一个独立的领域是在弗朗索瓦·韦达 (1540–1603) 之后，他引入了使用变量来表示未知或未指定数字。变量允许数学家使用数学公式来描述必须对表示的数字执行的操作。

直到 19 世纪，代数主要由线性方程（目前为线性代数）和单个未知数的多项式方程的研究组成，这些方程被称为代数方程（一个仍在使用，尽管它可能是模棱两可的术语）。在 19 世纪，数学家开始使用变量来表示除数字之外的事物（如矩阵、模整数和几何变换），在这些事物上，算术运算的推广通常是有效的。代数结构的概念解决了这个问题，它由一个集合组成，该集合的元素是未指定的，作用于集合元素的操作，以及这些操作必须遵循的规则。因此，代数的范围扩展到包括对代数结构的研究。代数的这个对象被称为现代代数或抽象代数，这是由埃米·诺特的影响和著作建立的。（后一个术语主要出现在教育环境中，与初等代数相对，初等代数与操作公式的旧方法有关。）

某些类型的代数结构在许多数学领域具有有用且通常是基本性质。它们的研究成为代数的自主部分，包括

群论；
域论；
向量空间，其研究基本上与线性代数相同；
环论；
交换代数，它是交换环的研究，包括多项式研究，是代数几何学的基础部分；
同调代数；
李代数和李群论；
布尔代数，广泛用于研究计算机的逻辑结构。

对作为数学对象的代数结构类型的研究是泛代数和范畴论的目的。后者适用于每个数学结构（不仅仅是代数结构）。在它的起源，它与同调代数一起被引入，用于允许对非代数对象（如拓扑空间）进行代数研究；这个特定的应用领域被称为代数拓扑。

微积分与分析

微积分，以前称为无穷小微积分，是由 17 世纪的数学家牛顿和莱布尼茨独立同时引入的。它本质上是研究相互依赖的变量之间的关系。微积分在 18 世纪由欧拉通过引入函数的概念以及许多其他结果而得到扩展。目前，“微积分”主要指该理论的初等部分，“分析”通常用于高级部分。

分析进一步细分为实分析，其中变量表示实数，和复分析，其中变量表示复数。分析包括许多其他数学领域共有的子领域，包括

多元微积分
泛函分析，其中变量表示变化的函数；
积分，测度理论和势理论，这些都与连续体的概率论密切相关；
常微分方程；
偏微分方程；
数值分析，主要致力于计算机上计算许多应用中出现的常微分方程和偏微分方程的解。

离散数学

广义来说，离散数学是对单个可数数学对象的学习。例如所有整数的集合。由于这里学习的对象是离散的，所以微积分和数学分析的方法不直接适用。算法，特别是它们的实现和计算复杂度，在离散数学中起着重要作用。

四色定理和最优球体填充是 20 世纪下半叶解决的两个主要的离散数学问题。P 对 NP 问题至今仍未解决，对离散数学也很重要，因为它的解将可能影响大量的计算难题。

离散数学包括

组合学，是枚举满足某些给定约束的数学对象的艺术。最初，这些对象是给定集合的元素

或子集；这已扩展到各种对象，这在组合学和其他离散数学部分之间建立了牢固的联系。例如，离散几何学包括计算几何形状的配置

图论和超图
编码理论，包括纠错码和密码学的一部分
拟阵理论
离散几何
离散概率分布
博弈论（尽管也研究连续博弈，但大多数常见博弈，如象棋和扑克都是离散的）
离散优化，包括组合优化，整数规划，约束规划

数学逻辑和集合论

数学逻辑和集合论这两个学科自 19 世纪末就已属于数学。在此之前，集合不被认为是数学对象，而逻辑尽管被用于数学证明，但属于哲学范畴，并没有被数学家专门研究。

在康托研究无限集合之前，数学家不愿考虑实际的无限集合，并将无限视为无休止枚举的结果。康托的工作不仅因考虑实际的无限集合而冒犯了许多数学家，还通过康托的对角线论证表明这意味着无限的不同大小。这导致了关于康托集合论的争议。

在同一时期，数学的各个领域得出结论，以前对基本数学对象的直观定义不足以确保数学严谨性。此类直观定义的例子是“集合是对象的集合”，“自然数是用于计数的东西”，“点是形状，在每个方向上的长度为零”，“曲线是运动点留下的轨迹”等。

这成为数学基础危机。它最终通过在形式化的集合论中系统化公理方法在主流数学中得到解决。粗略地说，每个数学对象都是由所有相似对象的集合和这些对象必须具有的属性定义的。例如，在皮亚诺算术中，自然数由“零是一个数”，“每个数都有一个唯一的后继”，“除零以外的每个数都有一个唯一的前继”和一些推理规则定义。这种对现实的数学抽象体现在现代形式主义哲学中，如大卫·希尔伯特在 1910 年左右创立的那样。

以这种方式定义的对象的“本质”是一个哲学问题，数学家将其留给哲学家，即使许多数学家对这种本质有自己的看法，并利用他们的看法——有时被称为“直觉”——来指导他们的研究和证明。这种方法允许将“逻辑”（即允许推论规则的集合）、定理、证明等视为数学对象，并证明关于它们的定理。例如，哥德尔不完备定理大体上断言，在包含自然数的每一个一致的形式系统中，都存在着在该系统中不可证明但真实的定理（即在更强的系统中可证明）。这种关于数学基础的方法在 20 世纪上半叶受到以布劳威尔为首的数学家的挑战，他们提倡直觉主义逻辑，它明确缺乏排中律。

这些问题和争论导致了数学逻辑的广泛扩展，包括模型论（在其他理论中对某些逻辑理论进行建模）、证明论、类型论、可计算性理论和计算复杂性理论等子领域。尽管这些数学逻辑方面的知识是在计算机出现之前引入的，但它们在编译器设计、程序认证、证明助手和其他计算机科学方面的应用，反过来又促进了这些逻辑理论的扩展。

统计学和其他决策科学

Whatever the form of a random population distribution (μ), the sampling mean (x̄) tends to a Gaussian distribution and its variance (σ) is given by the central limit theorem of probability theory. — 无论随机总体分布（μ）的形式如何，样本均值（x̄）都趋向于高斯分布，其方差（σ）由概率论的中心极限定理给出。

统计学领域是一种数学应用，用于收集和处理数据样本，使用基于数学方法（尤其是概率论）的程序。统计学家使用随机抽样或随机实验生成数据。统计样本或实验的设计决定了将使用的分析方法。来自观察性研究的数据分析使用统计模型和推理理论，使用模型选择和估计。然后，模型和随之而来的预测应该针对新数据进行测试。

统计理论研究决策问题，例如最小化统计操作的风险（预期损失），例如在参数估计、假设检验和选择最佳方法中使用程序。在这些传统的数学统计领域，统计决策问题是通过在特定约束下最小化目标函数（如预期损失或成本）来制定的。例如，设计调查通常涉及在给定置信水平下最小化估计总体均值的成本。由于使用了优化，数学统计理论与其他决策科学（如运筹学、控制论和数学经济学）重叠。

计算数学

计算数学是对通常太大而无法用人工进行数值计算的数学问题的研究。数值分析研究使用泛函分析和逼近理论解决分析问题的方法；数值分析广泛包括对逼近和离散化的研究，特别关注舍入误差。数值分析，更广泛地说，科学计算还研究数学科学的非解析主题，特别是算法矩阵和图论。计算数学的其他领域包括计算机代数和符号计算。