补充数学/非欧几何
几何学是数学的一个分支，它研究点集（例如，线和面上的以及线和面之间的点集）的位置、大小和形状的规律性，包括它们的改变和映射。根据是否考察度量关系（长度、角度大小、面积、体积）或者仅仅考虑物体的相互位置，人们将其称为度量几何或射影几何。
度量几何包括欧几里得几何，它基于平行公理，以及非欧几何，例如罗巴切夫斯基-鲍耶（双曲）几何，它保留了欧几里得几何的所有公理，但没有使用平行公理，以及黎曼（椭圆）几何，它也基于这样的假设，即并非每条直线都是无限长的。
几何学是数学的一个分支，它研究点集（例如，线和面上的以及线和面之间的点集）的位置、大小和形状的规律性，包括它们的改变和映射。根据是否考察度量关系（长度、角度大小、面积、体积）或者仅仅考虑物体的相互位置，人们将其称为度量几何或射影几何。度量几何包括欧几里得几何，它建立在平行公理的基础上，以及非欧几何，例如博莱-罗巴切夫斯基（双曲）几何，它保留了欧几里得几何的所有公理，但没有使用平行公理，以及黎曼（椭圆）几何，它也基于这样的假设，即并非每条直线都是无限长的。射影几何可以将这三种几何作为一般维度几何的特殊形式来发展。
大约2000年来，人们一直认为欧几里得几何具有普遍的有效性，例如，用来描述真实的物理空间。但随后，人们对这种观点的批评越来越多，导致了两项重要的发现。
对欧几里得几何与算术分离的批评导致了实数概念的产生，借助实数概念，不仅可以刻画可公度量，还可以刻画不可公度量。这为变数数学的兴起奠定了基础。勒内·笛卡尔和卡尔·弗里德里希·高斯在这个领域进行了工作。对个别公设，特别是第五公设（平行公设）的批评，导致了其他不与现实相矛盾的几何学的发展——非欧几何学（由罗巴切夫斯基、鲍耶、高斯或黎曼提出），这导致了从常数关系的数学向可变关系的数学的过渡。因此，平行公设被其相反的陈述所取代：“在平面上，过已知直线外一点，可以画出不止一条直线与已知直线不相交”。事实证明，这种几何与欧几里得-希尔伯特几何一样自洽。如果多种几何都是可能的，那么就不存在基本术语的一般定义。因此，（欧几里得和其他人）试图定义基本术语的努力在原则上是不可能的。因此，基本术语只参考所考虑的系统。
欧几里得几何是我们直觉中真实空间的模型这一说法并没有回答这个问题。在地球表面的小区域进行实验时，可以假设该表面是平的。另一方面，如果你在大面积进行实验，你必须将表面想象成弯曲的或球形的。相应地，非欧几何在小区域几乎与欧几里得几何没有区别。只有在大空间区域才会出现差异。关于真实世界几何结构的问题导致了自然科学的新发现和发展，例如爱因斯坦的相对论，它彻底打破了通常的几何观念。
新欧几里得几何后来由高斯和黎曼以更一般的几何形式发展起来。这是一种更一般的几何，在爱因斯坦的广义相对论中得到了应用。在非欧几里得几何中，内角和并不像180度。例如，如果三角形的边是双曲线的，则内角和永远达不到180度，并且小于180度。同样，如果几何是椭圆形的，它也不会是180度；而是更大。