补充数学/多面体

多面体 是三维空间中的一个固体几何物体，它具有光滑且规则的面（每个面都在一个平面上）和位于直线上的边或棱。到目前为止，还没有为它提供一个统一的定义。四面体是一种金字塔，立方体是六面体的例子。多面体可以是凸的或非凸的。像金字塔和棱柱这样的多面体可以通过挤出二维多边形来制作。只有有限数量的凸多面体具有规则的面和等角形状，包括柏拉图立体和阿基米德立体。一些阿基米德立体可以通过切割柏拉图立体的顶端金字塔来制作。由于结构的简单性，多面体在大多数建筑作品中都有使用，例如测地线圆顶和金字塔。最近，由于形状的应用，人们对多面体表面的兴趣日益浓厚。一些紧凑的分子和原子，尤其是晶体结构和柏拉图烃，以及一些径向，具有与柏拉图立体相似的形状。柏拉图立体也被用于制造骰子。多面体具有不同的特征和类型，并被置于不同的对称群中。其他多面体可以通过对任何多面体进行操作来创建。其中一些彼此之间存在关系。多面体从石器时代就引起了人们的兴趣。球体也被视为多面体家族的一部分。立方体、四面体、平行四边形是几何体积，也被认为是多面体。

定义

凸多面体有明确的定义，凸多面体本身也是定义明确的，可以计算体积和面积，除了几何体积之外还可以使用。但凹多面体是非几何体积，它们的定义很困难，而且非常困难，它们没有恒定的面积和体积公式。几何体积和非几何体积是多面体的类型，但它们的区别在于它们的凹性和凸性。

从这些定义中，可以提到以下几点

• 对多面体的一个常见且相对简单的定义是：一个固体物体，其外表面可以用大量的面覆盖，或由凸多面体的并集形成的固体。这个定义的自然扩展要求所讨论的固体是有限的，它的内部和可能还有它的边界也是连通的。这种多面体的面可以定义为边界部分中每个覆盖它的平面的内部的连通空间，它们的边和顶点可以定义为线段和面相遇处的点。然而，以这种方式定义的多面体不包括星形多面体，其面可能不会形成简单多边形，并且其中一些边属于两个以上的面。
• 基于极限表面而不是固体的概念的定义也很常见。例如，O'Rourke (1993) 将多面体定义为凸多边形（它的面）的集合。这些多边形在空间中以这样的方式排列：两个多边形的交点（或共享）是一个公共顶点或边，或者为空集，使得它们的并集是一个流形。如果这样的表面的一个平面部分本身不是一个凸多边形，那么 O'Rourke 规定该部分必须被分成几块，每块都是一个更小的凸多边形，使得它们之间的二面角是平的。更一般地说，Branko Grünbaum 将多面体定义为简单多边形的集合，形成一个嵌入流形，每个顶点至少由三条边到达，并且任何两面只在彼此共同的顶点和边处相交。Cromwell 关于多面体的书给出了一个类似的定义，但没有每顶点至少三条边的限制。同样，这种类型的定义不包括相交的多面体。类似的概念构成了多面体的拓扑定义的基础，作为拓扑流形的子集，进入拓扑圆盘（面），它们的二进制交点是点（顶点）、拓扑弧（边）或集合为空。然而，存在不能理解为几何多面体的拓扑多面体（即使具有完美的三角形）。
• 基于单多面体理论的更现代的定义也很普遍。这些多面体可以定义为具有偏序关系的集合，使得它们的元素是多面体的顶点、边和面。当顶点或边小于边或面时，顶点或边的元素小于边或面的元素（因此较小）。此外，这种偏序关系可能有一个特殊的较低元素（表示空集）和一个表示整个多面体的较高元素。如果部分顺序段在三个面的元素之间（即，在每个面和底部元素之间以及在顶部元素和每个顶点之间）具有与多边形的抽象表示相同的结构，那么这些有序集恰好包含与它们相同的的信息。它们携带拓扑多面体。然而，这些要求通常是宽松的，而是仅仅要求来自彼此的两面的元素之间的横截面具有与线段的抽象表示相同的结构。（这意味着每条边包含两个顶点，并且属于两个面，并且面中的每个顶点都属于该面的两条边。）以其他方式定义的几何多面体，可以用这种方式抽象出来。被描述，但抽象多面体也可以用作定义几何多面体的基础。抽象多面体的实现通常被认为是将抽象多面体的顶点映射到几何点，使得每个面的顶点是共面的。因此，几何多面体可以定义为抽象多面体的实现。取消平面度要求、施加额外的对称要求或将顶点映射到更高维空间的实现也被考虑在内。与基于固体和过程的定义相比，后一个定义非常适合星形多面体。然而，如果没有额外的限制，这个定义允许构建多面体或不忠实的多面体（例如，通过将所有顶点映射到一个点）以及这个问题：“我们如何约束这些中的一些的实现以避免这些多面体？”被阻止了吗？”也仍然没有得到解决。
• 在所有这些定义中，多胞体可以理解为任何维度的更一般多胞体的三维实例。例如，多边形具有二维主体，没有面，而四胞体具有四维主体，以及额外的三维“胞”。然而，一些关于高维几何的文献使用“多胞体”一词来表示其他含义：不是三维多胞体，而是与多胞体有某种不同的形状。例如，一些资料将凸多边形定义为多个半空间的交集，并将多胞体定义为有界多胞体。在本文中，只讨论三维多面体。

角

平面角：多面体多边形每个角的角都称为平面角。空间角：多面体在三维空间中在一个顶点上覆盖的每个角都称为空间角。这些角中的每一个都由三个或更多个直角角限定。二面角：多面体的两个面之间的任何角都称为二面角。

多面体表面

“多面体表面”是通过连接有限数量的平面多边形面而产生的，不一定封闭空间。多面体表面可以具有边界边和边界顶点（只有当多面体表面只包含一个面时）。

最近，由于形状的应用，人们对建筑中多面体表面的兴趣日益浓厚。

预备知识

预备知识是我们简单定义的一些小东西。

面

在多面体中，“面”是指任何构成固体边界一部分的多边形，其面积为“¹”。由面完全包围的三维固体称为多面体。

在更专业的几何学方法中，涉及多面体和更高维度的多胞体，该术语也用于表示更一般多胞体（任何维度）的任何维度的元素。

顶点

“顶点”（阿拉伯语：“Ras”）（英语：vertex）在几何学中是指开放或封闭多边形中两条直边相交的点。换句话说，顶点是角的尖端或几何图形中线的交点。连接两个顶点形成一条线，连接三个顶点形成一个面。

在 3D 电脑图形模型中，顶点通常用于定义曲面（通常是三角形），并且这些模型中的每个顶点都用向量表示。在图论中，顶点也称为节点。

任何平面多边形的顶点数等于边数。

边

在几何学中，“边”或“线”或“棱”是指连接多边形中两个相邻顶点的线段；因此，在实际应用中，边是连接一维线段和两个零维对象的界面。

边是构成每个形状的线，它们的数目在不同的形状中通常不同。例如，三角形有 3 条边，正方形和矩形有 4 条边。

平面的封闭边序列形成一个多边形（以及一个面）。在多面体中，每条边上恰好有两个面相接，而在更高维度的多面体中，每条边上恰好有三个或更多个面相接。² sup>

角

平面角是多边形面的角角。

立体角是三维空间中的一个角，它覆盖了顶点上的多面体。此角由三个或更多个立体角包围。

二面角是两个相邻面之间的角。

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^{1. 侧面的表面积}

^{2. 接触是指它们具有共同的顶点。}

特征和特性

多面体资金数量

多面体根据其面的数量进行分类和命名，并基于古典希腊语；例如，四面体表示有四个面的多面体，五面体表示有五个面的多面体，六面体表示有六个面的多面体，依此类推。

多面体的内角

多面体由规则多边形构成。与多边形一样，多面体也有内角和外角。

多面体的内角根据顶点的面的数量和边的数量来获得。

例如，四面体有四个等边三角形，其面的内角为 60 度，其内角之和为 180 度。但四面体总内角为 720 度。

因此，内角之和与内角大小的写法相一致。

$$180n[(n'-2)]$$

$${\frac {180}{n'}}n[(n'-2)]$$

形状和角

对于每个顶点，可以定义一个角形状，它定义了多面体围绕顶点的形状。确切的定义是可变的，但角形状可以定义为通过切断多面体的顶点而形成的形状。如果由此过程产生的多边形是规则的，则该顶点被认为是规则的。

顶点符号

顶点符号或顶点配置是一个简写符号，用于表示多面体或平铺的角形状，如围绕顶点的面的序列。对于均匀多面体，只有一种角形状，因此顶点配置完全定义了多面体。

顶点符号表示为数字序列，这些数字表示围绕顶点的面的边数。表示法“a.b.c”描述了一个顶点，它周围有 3 个面，边长为 a、b 和 c。

面配置

面对称的均匀二项式可以使用与顶点配置相同的缩写表示，称为面配置。这些符号用 V 表示差异。此符号定义为围绕面的顶点处连续的面数。例如，十二面体的面配置为 V3,4,3,4 或 ²(3,4)V。

体积

多面体固体具有称为体积的特定值，它衡量它们所占空间的大小。简单多面体族可能具有简单体积公式。例如，金字塔、棱柱和平行六面体的体积可以用边长或其他规格来轻松表示。

更复杂的多面体的体积可能没有简单的公式。通过将多面体分成更小的部分，可以计算这些多面体的体积。例如，可以通过将规则多面体分成相等的棱锥来计算规则多面体的体积，使每个棱锥都以多面体的一个面为底，以多面体的中心为顶点。

一般来说，可以从散度定理推导出多面体固体的体积由以下公式给出：

$${\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,$$

其中 F 上面的求和是多面体，是 F 面上的任意点，是垂直于 F 向多面体外部的单位向量，是内积的乘积点。

面积

正多面体的面积有一个表面积。正多面体的面是正多边形。棱柱、锥体和平行四边形等固定多面体具有恒定面积。它是规则的，它是根据棱柱的总多边形面积和侧面积（多边形面积 x 高度）得到的。

多面体的面积：$$n[{\frac {1}{4}}n'a^{2}cot({\frac {\pi }{n'}})]$$.

这里的 n 是面的数量，'n 是多边形的边数，这里的 π 是弧度制。

施莱夫利符号

施莱夫利符号是用于表示正多胞形，包括正多面体的符号。

正多面体表示为 {p,q}，其中 q 是顶点的施莱夫利符号，p 是每个面的多边形的施莱夫利符号。

施莱夫利符号是形式为 {p} 的凸正多边形，其中 p 是边数。正凹（星形）多边形的施莱夫利符号形式为 {p/q}，其中 p 是顶点数，q 是连接凸正多边形顶点以使其成为凹多边形时，两个顶点之间的边数。

施莱夫利符号相同的两个多面体互为对偶体。