补充数学/正多边形

在欧几里得几何中，"正多边形"是指所有角和边都相等的 多边形。正多边形可以是凸多边形或星形多边形。在极限情况下，如果周长保持不变，一系列边数不断增加的正多边形会变成圆形；如果边长保持不变，则会变成无穷边形。

十二边形

周长和面积

周长

正多边形的周长是通过正多边形边数乘以正多边形边长来计算的。

周长通过以下关系式得出：$P=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=(n.a)=na$ 其中 n 等于正多边形的边数，a 等于正多边形的边长。

面积

正多边形的面积是基于三角函数关系计算得到的。正多边形的面积基于其由 1x1 的正方形组成，边数为 n，且基于圆周率，边数根据 cotangent 以圆周率的形式三角函数扩展，得到正多边形的边数除以 1。

正多边形的面积可写成如下形式

$A={\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}})$

这里，π 是以弧度表示的（等于 180°）。

三角函数方法计算正方形面积

由于正方形是一种正多边形，其面积也可以用三角函数方法计算正多边形的面积公式得出，公式如下：${\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=a^{2}\cot {\frac {\pi }{4}}=a^{2}.({\sqrt {1}})=1.a^{2}=a^{2}$ 这里

${\frac {1}{4}}na^{2}={\frac {1}{4}}4a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}=1$

因此，平行正方形的面积等于其边长的平方。

其他面积公式

边长为 a、外接圆半径为 R、内接圆半径为 r、周长为 p 的 "n-" 正多边形的面积可通过以下关系式得出

(角度以弧度表示)。

$A={\tfrac {1}{2}}nar={\tfrac {1}{2}}pr={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot {\tfrac {\pi }{n}}=nr^{2}\tan {\tfrac {\pi }{n}}={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$

其中 R 等于

$R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$