补充数学/体积元素

在数学、微积分和几何学中，体积元素通常提供一种根据函数在其体积中的位置对函数进行积分的方法，例如球坐标和柱坐标等不同坐标系。因此，体积元素是以以下形式表达的：

$\mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$

其中 $u_{i}$ 是坐标，以便任何集合 $B$ 的体积可以通过以下公式计算：$\operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.$ 例如，在球坐标系中 $\mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$，因此 $\rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}$.

体积元素的概念和规则并不局限于空间坐标系或三维空间：在二维空间中，它也被称为面积元素，在这种情况下，它对于执行曲面积分等任务非常有用。在坐标变换下，体积元素会根据坐标变换的雅可比行列式的绝对值发生变化（根据变量变换公式）。这个事实允许将体积元素定义为流形中的某种度量。在可定向的可微流形中，体积元素通常来自体积形式：高阶微分形式。在不可定向流形中，体积元素通常是体积形式（局部定义）的绝对值：它定义了体积形式（局部定义）的密度：它定义了 1-密度。