超现实数与游戏/简单算术

加法

我们已经创建了 15 个超现实数，并为它们起了熟悉的名称。它们的相对顺序是正确的，但我们如何确定它们的值是否合适呢？我们可以用诸如

-50, -49, -10, 2, 3, 3.14159, 4, 10, 11, 12, 50, 999.999, 1000, 1000.000001, 2^{10,000,000,000}

之类的荒谬名称来命名它们，排序仍然是完全正确的。我们可以证明我们为它们起的名称是合理的的一种方法是，证明它们在算术运算下表现正确 - 例如，证明 $1+1=2$ 等等。因此，我们需要使用超现实数进行加法的方法。

公理 3 - 加法

如果 $x,y$ 是超现实数，那么

$x+y:=\{X_{L}+y,x+Y_{L}|X_{R}+y,x+Y_{R}\}$

记号 $X_{L}+y$ 表示将 $X_{L}$ 的所有成员加上 (通过公理 3) $y$ 而形成的超现实数集合。这是一个递归定义，但由于每一步都涉及更早的集合，因此它一定能终止。让我们计算 $0+0$

${\begin{array}{rcl}0+0&=&\{\varnothing +0,0+\varnothing |\varnothing +0,0+\varnothing \}\\&=&\{\varnothing ,\varnothing |\varnothing ,\varnothing \}\\&=&\{\varnothing |\varnothing \}\\&=&0\end{array}}$

练习 1

证明对所有 $x$ ， $x+0=0+x=x$ 成立。

这表明 $0$ 是超现实数的加法单位元，正如它应该的那样。我们对它的命名似乎是合理的。但在我们开始随意地将数字加在一起之前，我们最好验证一下我们对加法的定义是否赋予了它我们想要的所有属性。我们需要它在两个良构数相加时产生良构数，并且我们希望它既是可交换的 $(x+y=y+x)$ 又结合律 $(x+[y+z]=[x+y]+z)$ 。

定理 1 - 加法的交换律

如果 $x,y$ 是任何两个超现实数，那么 $x+y=y+x$ 。

$x+y=\{X_{L}+y,x+Y_{L}|X_{R}+y,x+Y_{R}\}$

$y+x=\{Y_{L}+x,y+X_{L}|Y_{R}+x,y+X_{R}\}$

很明显，如果

$X_{L}+y=y+X_{L}$

$X_{R}+y=y+X_{R}$

$Y_{L}+x=x+Y_{L}$

$Y_{R}+x=x+Y_{R}$ .

所有这些都只是对旧数字的交换律。你在习题 1 中证明了当其中一个数字是 $0$ 时，交换律成立，因此，根据归纳法，交换律通常成立。

习题 2

交换律实际上比简单的相等性更强；证明 $x+y\equiv x+y$ ，前提是左侧的 $x$ 与右侧的相同，类似地， $y$ 。你可能需要调整习题 1 来完成证明。

定理 2

(2A) 如果 $a,a',b,b'$ 是四个超现实数，使得 $a\leq a'$ 并且 $b\leq b'$ ，那么 $a+b\leq a'+b'$ .
(2B) 如果 $v,v',w,w'$ 是四个超现实数，使得 $v+w\leq v'+w'$ 并且 $w'\leq w$ ，那么 $v\leq v'$ .

事实证明，这个定理的两个部分都需要同时证明。让我们引入简写符号 $P_{2A}(a,a',b,b')$ 表示 (2A) 对这四个数有效，并且 $P_{2B}(v,v',w,w')$ 表示 (2B) 对 $v,v',w,w'$ 有效。现在， $P_{2A}(a,a',b,b')$ 只有在以下情况下为真：

(2Aa) $A'_{R}+b'\not \leq a+b$ 并且
(2Ab) $a'+B'_{R}\not \leq a+b$ 并且
(2Ac) $a'+b'\not \leq A_{L}+b$ 并且
(2Ad) $a'+b'\not \leq a+B_{L}$ .

假设 (2Aa) 为假，利用反证法来证明。在这种情况下，我们将有 $A'_{R}+b'\leq a+b$ ，我们也知道 $b\leq b'$ 。现在观察到，如果我们允许假设 $P_{2B}(a'_{R},a,b',b)$ 是有效的，那么 $A'_{R}<a$ 。我们知道这是荒谬的，所以 (2Aa) 必须为真。

现在让我们找到 $P_{2B}(v,v',w,w')$ 有效的时间。再次，证明是通过反证法。让我们假设 $w'\leq w$ 和 $v+w\leq v'+w'$ ，但 $v\not \leq v'$ 。那么一些 $v'_{R}\leq v$ 或 $v'\leq$ 一些 $v_{L}$ 。但从加法中我们得到

$V'_{R}+w'\not \leq v+w$ 和
$v'+w'\not \leq V_{L}+w$ .

现在，如果我们可以假设 $P_{2A}(v'_{R},v,w',w)$ 和 $P_{2A}(v',v_{L},w',w)$ ，这些将为我们提供证明 $P_{2B}(v,v',w,w')$ 所需的矛盾。如果还不清楚，请完整写出来。换句话说， $P_{2B}$ 的有效性取决于 $P_{2A}$ 应用于更简单的一组数字的有效性。归纳证明的结构越来越清晰。回到 (2Aa)，如果 $P_{2B}(a'_{R},a,b',b)$ 有效；反过来，如果

$P_{2A}(a_{R},a'_{R},b,b')$ 和
$P_{2A}(a,a'_{RL},b,b')$

有效。归纳地，(2Aa) 是真的。 (2Ab,c,d) 可以用相同的方式验证。观察到这个定理的证明不依赖于两个数字的和实际上是否格式良好；这很好，因为我们还没有证明将两个数字相加会产生一个格式良好的数字。但这是真的，我们现在将证明它

定理 3 - 和的格式良好性

如果 $x$ 和 $y$ 格式良好，则 $x+y$ 格式良好。

我们需要所有

$x_{R}+y\not \leq x+y$
$x+y_{R}\not \leq x+y$
$x+y\not \leq x_{L}+y$
$x+y\not \leq x+y_{L}$ .

根据归纳法，我们可以假设 $x_{R}+y$ 等都是良好的形式，这意味着我们可以用 " $>$ " 不等式替换 " $\not \leq$ " 不等式，以得到

$x+y<x_{R}+y$
$x+y<x+y_{R}$
$x_{L}+y<x+y$
$x+y_{L}<x+y$ .

由于 $x,y$ 是良好的形式， $x<x_{R}$ 等等。因此定理 2A 应用于所有内容，证明完成。

定理 4 - 结合律

如果 $x,y,z$ 是任意三个数字，那么 $x+(y+z)=(x+y)+z$ .

证明很简单，不需要太多解释。留作练习。

练习 3

证明定理 4。

减法

定义 4：负数和减法

如果 $x=\{X_{L}|X_{R}\}$ 那么 $x$ 的负数记作 $-x=\{-X_{R}|-X_{L}\}$ .
$x-y=x+(-y)$ .

也就是说，减法是加负数，正如我们所期望的那样。

练习 4

查看第 2 天出现的所有数字。验证，例如， $-{\frac {1}{2}}$ 确实是 ${\frac {1}{2}}$ 的负数。零的负数是多少？

我们需要确保一个良好形式的数字的负数也是良好形式的。为此，我们首先证明，如果 $a<b$ ，那么 $-b<-a$ 对于任何（不一定良好形式的） $a,b$ 。

练习 X

证明，如果 $a<b$ ，那么 $-b<-a$ 。

定理 5：良好形式的数字的负数是良好形式的

如果 $x$ 是良好形式的，那么 $-x$ 也是良好形式的。

由于 $x$ 是良好形式的，我们知道 $x_{L}<x<x_{R}$ 。从练习 X 可以得出 $-x<-(x_{L})$ 和 $-(x_{R})<x$ 。因此，根据传递律 $-(x_{R})<-x<-(x_{L})$ 。但根据负数的定义，这与 $(-x)_{L}<-x<(-x)_{R}$ 相同，所以 $-x$ 是良好形式的。

插曲

现在我们有了加法和减法，我们可以更好地回答我们给超现实数字命名的名称是否合适的问题。回想一下，在第 2 天之后，我们创建了七个超现实数字，我们称之为

$-2,-1,-(1/2),0,(1/2),1,2$ .

我们还表明，在任何给定的一天创建的数字是在已经知道的相邻数字之间以及上下两端创建的。因此，我们可能预期在第 3 天之后，我们将有以下数字集

$-3,-2,-(3/2),-1,-(3/4),-(1/2),-(1/4),0,1/4,1/2,3/4,1,3/2,2,3$ 。事实证明是正确的。为了证明这一点，我们需要证明以下内容

在某一天创建的最大数字比前一天创建的最大数字多 1。
如果 $x$ 是在某一天创建的，那么 $-x$ 也是在同一天创建的。这将表明数字关于 $0$ 对称分布。
如果 $a,b$ 是某一天上的相邻数字，它们之间没有更早或同一天创建的数字，那么 $\{a|b\}$ 是它们之间的中点。这将证明，例如， $\{0|1\}$ 是 $1/2$ 而不是 1/3 或 0.999。