超现实数与游戏/开始

第 0 天

我们从超现实数的定义开始

公理 1 每个超现实数对应于两个先前创建的超现实数的集合，称为左集合和右集合。 左集合中的任何成员都不可能大于或等于右集合中的任何成员。

我们将使用小写字母来表示超现实数，使用大写字母来表示超现实数的集合。如果 $x$ 是一个超现实数，那么 $X_{L}$ 和 $X_{R}$ 分别是它的左集合和右集合，我们将其表示为 $x:=\{X_{L}|X_{R}\}$

因此，超现实数是从两个先前创建的集合派生出来的。到目前为止，我们还没有任何可以用来创建新超现实数的超现实数，也没有“大于或等于”的定义来确保我们创建的超现实数满足公理 1 的第二部分。但我们已经有了足够的条件来开始创建超现实数，因为我们可以从取 $X_{L}$ 和 $X_{R}$ 都是空集 $\varnothing$ 开始，它不包含任何超现实数。因此，我们可以创建 $\{\varnothing |\varnothing \}$，我们可以证明它确实是一个超现实数。

左集合中的任何成员都不大于或等于左集合中的任何成员，这是真的吗？是的，它是。这是微不足道的，因为左集合 $\varnothing$ 根本没有成员，这足以证明 $\{\varnothing |\varnothing \}$ 是一个格式良好的超现实数。甚至还没有必要知道“小于或等于”的含义。

我们将第一个超现实数称为“0”，原因将在后面解释：$0:=\{\varnothing |\varnothing \}$。不要将零符号 0 与空集符号 $\varnothing$ 混淆。

第 1 天

现在我们已经创建了一个超现实数，我们可以将其用作新超现实数的左或右集。有三种可能性：$\{0|\varnothing \}$，$\{\varnothing |0\}$，和$\{0|0\}$。我们必须检查这些对象是否格式良好。对于第一个，我们需要证明$\varnothing$中的任何成员都不小于或等于$\{0\}$（$\{0|\varnothing \}$的右集）中的任何成员，这再次是微不足道的。

练习 1 证明$\{\varnothing |0\}$是一个格式良好的超现实数。

练习 2 如果$x$是一个超现实数，证明$\{\varnothing |x\}$和$\{x|\varnothing \}$也是超现实数。

从练习 2 可以清楚地看到，我们可以创建无限数量的超现实数。但让我们回到我们正在讨论的三个对象。$\{0|0\}$是一个超现实数吗？如果是，那么$\{0\}$（$\{0|0\}$的右集）中的任何成员都不小于或等于$\{0\}$（左集）。换句话说，$\{0|0\}$是一个超现实数，如果零不小于或等于它本身。我们预计零是小于或等于它本身（使$\{0|0\}$不是一个超现实数），但这必须得到证明。现在，最后，我们需要“小于或等于”的定义。

公理 2 给定两个超现实数 $x$ 和 $y$，我们说 $y$ 小于或等于 $x$ $(y\leq x)$ 当且仅当 $x$ 大于或等于 $y$。我们说 $x$ 大于或等于 $y$ $(x\geq y)$ 当且仅当 $X_{R}$ 中没有成员小于或等于 $y$，并且 $x$ 小于或等于 $Y_{L}$ 中的任何成员。

再次，我们发现一个概念定义在它自身的基础上，但我们也会发现这足以获得我们需要的结论。现在，$0\leq 0$ 吗？根据定义 2，如果 $0_{R}$ 中没有成员小于或等于 0，并且 0 小于或等于 $0_{L}$ 中的任何成员，那么这将是正确的。但 $0_{R}$ 和 $0_{L}$ 都是空集，因此这个说法是正确的。因此，$0\leq 0$，正如我们所期望的那样，因此 $\{0|0\}$ 不是超现实数。它不满足公理 1 的第 2 点。我们称这类对象为伪数，并且结构不完整。这个伪数被称为 *，在博弈论中非常重要。我们将在后面的章节中再次遇到它。当然，伪数可以在其左右集合中包含其他伪数。

因此，在第一天结束时，我们总共有三个超现实数：0，以及两个新的 $\{\varnothing |0\}$ 和 $\{0|\varnothing \}$。我们将给这两个新数命名

• $-1:=\{\varnothing |0\}$
• $1:=\{0|\varnothing \}$

在我们进入第二天之前，让我们定义一些关于超现实数的二元关系。

定义 1：二元关系 符号 含义 $x\leq y$ $x$ "小于或等于" $y$，如公理 2 中定义 $x\geq y$ $x$ "大于或等于" $y$，如公理 2 中定义 $x\not \leq y$ $x\leq y$ 为假 $x\not \geq y$ $x\geq y$ 为假 $x=y$ $x\leq y$ 且 $y\leq x$ $x<y$ $x\leq y$ 但 $y\not \leq x$ $x>y$ $x\geq y$ 但 $y\not \geq x$ $x\neq y$ $x=y$ 是假的 $x\not <y$ $x<y$ 是假的 $x\not >y$ $x>y$ 是假的

练习 3 证明 0=0。

我们对不等式的定义可以做更多的事情，不仅仅是确定一个对象是否是一个格式良好的超实数。我们还可以对先前创建的一组数字进行适当的排序，也就是说，按升序对它们进行排序。让我们取我们已经创建的三个超实数；我们将证明 $-1<0<1$。根据“<”的定义，我们需要首先证明 $1\leq 0$，然后证明 $0\not \leq 1$。

对于第一步，我们需要证明 $0_{R}$ 中没有成员大于或等于 1（因为 $0_{R}=\varnothing$，这显然是正确的），并且 0 小于或等于 $1$ 左侧集合中的任何成员（同样，因为 1 的左侧集合是空的）。这完成了证明的第一步。对于第二步，我们需要证明

• 1 的右侧集合中至少有一个成员大于或等于 0 或
• 1 小于或等于 0 的左侧集合中至少一个成员。

但是，你在练习 3 中展示了 0 属于右集 {1}，并且大于或等于 0。这证明了证明的第二部分；我们现在知道 $0\leq 1$ 以及 $1\not \leq 0$。换句话说，$0<1$。

练习 4 证明 $-1<0$。

练习 5 证明 $-1<1$。你不能使用不等式的传递律，因为我们还没有证明它适用于超实数。

注意，我们现在已经为前三个超实数建立了不等式的传递律。也就是说，对于任何三个在第一天或之前创建的超实数 $x,y,z$，只要 $x<y$ 并且 $y<z$，我们也有 $x<z$。这个事实很重要。在接下来的日子里，我们将用它来证明传递律适用于任何三个超实数。

第二天

现在我们有了三个超实数，我们可以创建大量新的对象。为了完整起见，超实数的不同集合是
$\varnothing ,\{-1\},\{0\},\{1\},\{-1,0\},\{-1,1\},\{0,1\},$ 以及 $\{-1,0,1\}$。也就是说，有八个不同的集合，每个集合都可能构成超实数的左集或右集，因此可能存在 64 个对象需要调查。我们之前已经见过一些对象，例如 $\{\varnothing |\varnothing \}$，而另一些则会发现不符合公理 1 的标准，还有一些即使其构成集合不同，也会发现彼此相等。在我们消除重复项和根本不是超实数的对象后，我们将只剩下四个新的超实数。

由于我们从公理 1 中知道，右集中的任何成员都不能小于或等于左集中的任何成员，并且我们已经将 -1、0 和 1 排列在第一天，因此我们可以消除一些对象。例如，$\{0,1|-1\}$ 是不行的，因为 -1 小于 0。类似地，$\{1|1\}$ 可以被丢弃，因为 $1\leq 1$。

练习 6 在消除这种类型的非良构对象以及我们在之前日子中遇到的数字后，还有多少个对象需要调查？

这仍然相当多，但我们可以进一步缩减它们。例如，我们可以证明$\{-1,0|\varnothing \}=1$； 我们用通常的方法来做到这一点，即证明$\{-1,0|\varnothing \}\leq 1$ 和 $1\leq \{-1,0|\varnothing \}$.

为了使这成立，我们需要

• (a) $1_{R}$ 中没有成员小于或等于$\{-1,0|\varnothing \}\leq 1$，以及
• (b) $1$ 小于或等于$\{-1,0|\varnothing \}$ 中的任何成员，以及
• (c) $\{-1,0|\varnothing \}_{R}$ 中没有成员小于或等于$1$，以及
• (d) $\{-1,0|\varnothing \}$ 小于或等于$1_{L}$ 中的任何成员。

要点 (a) 和 (c) 显然为真，因为所讨论的右侧集为空集。要点 (b) 为真，因为我们第一天已经证明了$0<1$。要点 (d) 归结为证明$\{-1,0|\varnothing \}\not \leq 0$。如果以下情况成立，则该情况为真

• (e) $0_{R}$ 中的一些成员大于或等于$\{-1,0|\varnothing \}$，或者
• (f) $0$ 小于或等于$\{-1,0|\varnothing \}_{L}$ 中的某个成员。

我们看到要点 (f) 为真，因为$0\leq 0$，这验证了 (d)，并完成了证明。

这是迄今为止最长的证明。如果你能理解它，做得很好。如果不能，请慢慢地理解它; 特别是要确保你理解点 (e) 和 (f) 是如何从二元关系 $\not \leq$ 中得出的。你可能已经注意到，$\{-1,0|\varnothing \}$ 左边的集合中 -1 这个元素在证明中根本没有发挥作用。只有左边集合中的最大元素起作用。这在一般情况下都是成立的，我们很快就会证明这一点。

我们第一次看到两个超实数，尽管它们的构成集不相同，但它们却相等。

定义 2 - 恒等 对于两个数 $x,y$ $x\equiv y$ 当且仅当 $X_{L}$ 包含与 $Y_{L}$ 完全相同的元素，并且 $X_{R}$ 包含与 $Y_{R}$ 完全相同的元素。 $x\doteq y$ 当且仅当 $x=y$ 但 $x\not \equiv y$

但是我们不会再进一步研究这个概念。 $\{0|1\}\equiv \{0|1\}$，无论右边的 $0$ 是否与左边的相同。

我们现在将证明两个非常有用的一般定理

定理 1 - 传递律 如果 $x,y,$ 和 $z$ 是超实数，使得 $x\leq y$ 并且 $y\leq z$，那么 $x\leq z$。

证明是通过反证法。根据假设，以下必须为真

• (a) 没有 $y_{R}\leq x$，并且
• (b) $y\leq$ 没有 $x_{L}$，并且
• (c) 不存在 $z_{R}\leq y$，且
• (d) $z\leq$ 不存在 $y_{L}$.

请注意，我们使用诸如“不存在 $y_{R}\leq x$”这样的短语来表示“在集合 $Y_{R}$ 中不存在元素 $y_{R}$ 使得 $y_{R}\leq x$”。

因为我们假设 $x\not \leq z$，以下情况之一必须为真

• (e) 存在 $x_{L}\geq z$，或者
• (f) $x\geq$ 存在 $z_{R}$.

如果 (e) 成立，则有 $y\leq z,z\leq x',$ 且 $y\not \leq x'$.
如果 (f) 成立，则有 $z'\leq x,x\leq y$，且 $z'\not \leq y$.

将 (e) 与 (b) 结合，将 (f) 与 (d) 结合，我们得到，要么

• $x_{L}\leq y\leq z$ 但 $x_{L}\not \leq z$
• $x\leq y\leq z_{R}$ 但 $x\not \leq z_{R}$.

这看起来完全没有帮助；我们又回到了试图为另一组三个数字证明传递定律。幸运的是，有一个方法可以摆脱这种困境。观察我们拥有的三个数字比我们开始的三个数字*更简单*。其中一个是在前面创建的。定义 $d(q)$ 表示超现实数 $q$ 被创建的那一天。所以我们有天数之和 $d(x_{L})+d(y)+d(z)<d(x)+d(y)+d(z)$，另一个选择也是如此。（这些目前是普通整数，不是超现实数）。这三个新的“坏”数字将产生另一组天数之和更低的坏数字，而这些数字将产生更低的数字。最终，我们将回归到天数之和小于或等于 2 的点。

练习 7 证明 $\{-1,0,1\}$ 是唯一三个不同的超现实数，它们的天数之和等于 2。

但是，对于这三个数字，传递定律是成立的。因此，我们永远不可能让传递定律失效。这完成了证明。这个归纳证明与我们之前见过的证明性质不同，但从现在起我们将遇到的许多证明将依赖于类似的推理。慢慢地完成证明，直到它的含义清楚。

练习 8 以下传递定律也都是有效的 (a) 如果 $x=y$ 并且 $y=z$，则 $x=z$。 (b) 如果 $x<y$ 并且 $y<z$，则 $x<z$。 (c) 如果 $x<y$ 并且 $y\leq z$，则 $x<z$。 (d) 如果 $x\leq y$ 并且 $y<z$，则 $x<z$。 证明 (a) 和 (b)，并说明为什么 (c) 和 (d) 由它们得出。

对于 $\geq$ 和 $>$ 的对应传递定律也成立；证明非常相似。

定理 2 如果 $x$ 是一个超实数，且其左侧 $X_{L}$ 非空，那么 $x_{L}<x$ 如果 $x$ 是一个超实数，且其右侧 $X_{R}$ 非空，那么 $x<x_{R}$

我们证明前半部分；后半部分可以通过对称性得出。我们需要

• (a) $x_{L}\leq x$，以及
• (b) $x_{L}\neq x$.

但 (b) 必须成立。一个超实数不能包含自身（或其任何较年轻的表示）在其左侧集合中，因为左侧集合中的所有元素都是 *先前* 创建的（公理 1）。因此，我们只需要

• (c) 没有 $x_{R}\not \leq x_{L}$，以及
• (d) $x\leq$ 没有 $x_{LL}$

其中 $x_{LL}$ 是 $x_{L}$ 左侧集合的成员。观察到，如果 $x_{L}$ 的左侧集合为空，则上述结论直接成立。如果 $x_{LL}\leq x_{L}$，则上述结论也根据定理 1 成立，而这又将根据 $x_{LLL}\leq x_{LL}$ 等等成立。最终，通过归纳法，我们将得到一些 $x_{LL...L}$，其左侧集合为空；我们无法早于第 0 天。这证明了定理。

定理 3 如果 $x=\{X_{L}|X_{R}\}$ 是一个超现实数，并且 $a$ 是另一个超现实数，使得 $a$ 小于 $X_{L}$ 中的至少一个成员，那么 $\{a,X_{L}|X_{R}\}=\{X_{L}|X_{R}\}$. 类似地，如果 $b$ 是一个超现实数，使得 $b$ 大于 $X_{R}$ 中的至少一个成员，那么 $\{X_{L}|X_{R},b\}=\{X_{L}|X_{R}\}$.

像往常一样，我们将通过证明 $\{a,X_{L}|X_{R}\}\leq \{X_{L}|X_{R}\}$ 来证明定理的前半部分，并且证明 $\{X_{L}|X_{R}\}\not \geq \{a,X_{L}|X_{R}\}$。 后半部分将再次通过对称性得到证明。 令 $w$ 为 $X_{L}$ 中大于 $a$ 的数，我们知道这个数根据假设一定存在。 我们还将使用 ${\hat {x}}$ 作为 $\{a,X_{L}|X_{R}\}$ 的简写。 我们需要（自己验证！）：

• (a) 没有 $x_{R}\leq x$
• (b) ${\hat {x}}\leq$ 没有 $x_{L}$
• (c) 没有 $x_{R}\leq {\hat {x}}$
• (d) $x\leq$ 没有 $x_{L}$
• (e) $a\leq x$.

要点 (a) 和 (d) 直接由定理 2 推出。要点 (e) 由观察得出 $a\leq w$，根据定义；定理 2 表明 $w<x$，使用传递律得到 $a<x$。对于 (c)，观察到定理 2 说明 $x<x_{R}$，完全不提及 $X_{L}$，因此 $a$ 在 ${\hat {X}}_{L}$ 中的存在不会改变任何结果。因此 (c) 为真。要点 (b) 将根据定理 2 为真，如果 $a$ 在 ${\hat {X}}_{L}$ 中的存在不会使其失效。假设它确实使定理 2 失效。那么我们需要 $a\not <x$，因为其他任何可能的 $x_{L}$ 选择都无法实现。但根据构造 $a<w<x$，矛盾，因此 (b) 必须为真。这完成了证明。

定理 3 的重要含义是，我们可以自由地丢弃任何左集的成员，除了最大的那个。我们也可以丢弃任何右集的成员，除了最小的那个。由这些集合形成的超实数将保持不变。实际上，我们可以从超实数中移除所有内容，除了其左集的最大成员和右集的最小成员。根据这一观察，我们可以将当天创建的超实数集合简化为以下这些

• $\{\varnothing |-1\}$
• $\{\varnothing |1\}$
• $\{-1|\varnothing \}$
• $\{-1|0\}$
• $\{-1|1\}$
• $\{0|1\}$
• $\{1|\varnothing \}$

一路走来，我们终于到达了这里。为了证明像 $\{-1,0|1\}$ 这样的超现实数，我们需要定理 3。为了得到它，我们需要定理 1，传递律，以及定理 2，它告诉我们一个超现实数位于它的左集合和右集合之间。我相信你会同意，这些定理本身就非常宝贵，不仅仅是为了得到定理 3，而且这段漫长的讨论也是值得的。

剩下的七个超现实数，与我们最初的 64 种可能性相比，已经减少了很多，但事实证明，剩下的三个数实际上等于我们之前见过的数。事实上，它们等于零。

练习 9 证明 $\{\varnothing |1\}$, $\{-1|\varnothing \}$, 和 $\{-1|1\}$ 都等于 0。

剩下的四个数字不是我们之前见过的其他数字的别名。让我们给他们起一些名字

• $\{\varnothing |-1\}:=-2$
• $\{-1|0\}:=-{\frac {1}{2}}$
• $\{0|1\}:={\frac {1}{2}}$
• $\{1|\varnothing \}:=2$

我们可以通过证明这种排序成立来证明这些数字中的任何一个都不是其他数字的别名（并且我们已经为新数字选择了好的名字）
$-2<-1<-{\frac {1}{2}}<0<{\frac {1}{2}}<1<2$.

我们先证明 $0<{\frac {1}{2}}$。如果是这样，那么

• (a) $\left({\frac {1}{2}}\right)_{R}$ 中的任何元素都不小于零，并且
• (b) ${\frac {1}{2}}$ 不小于 $0_{L}$ 中的任何元素，并且
• (c) $0_{R}$ 中的一些成员不小于 ${\frac {1}{2}}$，或者
• (d) $0$ 小于或等于 $\left({\frac {1}{2}}\right)_{L}={0}$ 的某个元素）。

请注意这里的括号；我们需要 (a) 和 (b)，以及 (c) 或 (d) 中的至少一个。

(a) 为真，因为 $\left({\frac {1}{2}}\right)_{R}=\{1\}$，(b) 为真，因为 $0_{L}=\varnothing$，(c) 为假，因为 $0_{R}=\varnothing$，(d) 为真，因为 $0\leq 0$。因此，我们有 (a)、(b) 和 (c)、(d) 中的一个，不等式得证。

练习 10 证明 ${\frac {1}{2}}<1$

证明 $-1<-{\frac {1}{2}}<0$ 与上面非常类似。

练习 11 证明 $1<2$。证明 $-2<-1$ 将通过对称性得出。

现在我们已经有了所有这些，传递律确保我们不会遇到 2 变成小于 -1 之类的讨厌的意外情况。但是，当我们进入以后的日子，我们如何保证所有超现实数将继续被排列成一个有序的行？如果出现一个超现实数，它不能用我们的二元关系与其他超现实数比较，或者满足看似矛盾的关系，比如 $x>y,y>x$ 会怎么样？下一节将表明这样的情况不可能发生。

所有超现实数都相关

定理 4 - 超现实数总是可比较的 对于任何两个良好的超现实数，以下情况中必有一个成立 $x<y$ $x=y$ $y<x$

我们分两步证明这一点。首先，我们证明如果其中一个成立，那么另外两个就不成立。然后，我们证明如果任何两个不成立，那么第三个就必须成立。有六种情况需要考虑

情况 1 - 令 $x<y$ 为真。那么，我们必须证明 $x\neq y$ 以及 $y\not <x$。换句话说，我们知道

• (a) 没有 $y_{R}\leq x$，并且
• (b) $y\leq$ 没有 $x_{L}$，并且
• (c) ( 存在某个 $x_{R}\leq y$ 或
• (d) $x\leq$ 一些 $y_{L}$ )。

并且我们想要证明

• (e) ($x\not \leq y$ ，或者
• (f) $y\not \leq x$ )，并且
• (g) ($y\not \leq x$ ，或者
• (h) $x\leq y$ )。

项目 (f) 和 (g) 是相同的，但由于它们来自不同的二元关系，为了完整性，我们列出了它们。我们知道 (h) 是正确的，因为 $x<y$ 并且 (e) 由于同样的原因是错误的。我们需要证明 (f) 是正确的

• (i) (一些 $x_{R}\leq y$ ，或者
• (j) $x\leq$ 一些 $y_{L}$ 。

但是 (i) 是给定的，因为我们已经知道 (c)。因此情况 1 是有效的。

情况 2- 取 $y<x$ 为真。那么我们必须证明 $y\neq x$ 并且 $x\not <y$ 。证明与情况 1 相同；我们只需要交换 $x$ 和 $y$ 。

情况 3- 取 $x=y$ 为真。那么我们必须证明 $x\not <y$ 并且 $y\not <x$ 。我们知道

• (a) 没有 $y_{R}\leq x$，并且
• (b) $y\leq$ 没有 $x_{L}$，并且
• (c) 没有 $x_{R}\leq y$ ，并且
• (d) $x\leq$ 没有 $y_{L}$。

我们要证明

• (e) ($x\not \leq y$ ，或者
• (f) $y\leq x$)，以及
• (g) ($y\not \leq x$ ，或者
• (h) $x\leq y$ )。

观察到我们需要 (e,f) 中的一个和 (g,h) 中的一个。但是，根据定义 1，我们有 (f) 和 (h) 因为 $x=y$。因此，情况 3 是有效的。

这三种情况表明，最多只有一个关系成立。由于我们没有使用 $x,y$ 是良构的事实，那么这对伪数也必须是正确的。现在我们证明至少有一个不等式成立。

情况 4- 取 $x<y$ 和 $x=y$ 为假，并证明 $y<x$。我们知道

• (a) ($x\not \leq y$，或
• (b) $y\leq x$)，以及
• (c) ($x\not \leq y$ 或
• (d) $y\not \leq x$).

我们要证明

• (e) $y\leq x$，以及
• (f) $x\not \leq y$。

练习 12 如果 $a,b$ 是超实数，使得 $a\not <b$ 且 $a\neq b$，证明 $a\not \leq b$。

这将问题简化为证明 $y\leq x$，已知 $x\not \leq y$。我们知道

• (g) 某些 $y_{R}\leq x$，或
• (h) $y\leq$ 某些 $x_{L}$，

并且我们想要证明

• (i) 没有 $x_{R}\leq$，并且
• (j) $x\leq$ 没有 $y_{L}$。

通过反证法：假设存在一些 $x_{R}\leq y$。 那么根据定理2，(g) 变成 $x_{R}\leq y\leq y_{R}\leq x$，但我们已经从定理2 中知道 $x_{R}\not \leq x$。 点 (h) 变成 $x_{R}\leq y\leq x_{L}$，但这会使 $x$ 成为公理1 中的错误数字。

现在假设 $x\leq$ 某些 $y_{L}$。 然后 (g) 和 (h) 会给出相同类型的矛盾；作为练习来证明这一点。

练习13 如果 $x\leq y_{L}$，证明 $y_{R}\leq x$ 和 $y\leq x_{L}$ 是错误的。

这完成了案例4 的证明。

案例5- 设 $y<x$ 和 $x=y$ 是错误的，并证明 $x<y$。

这由案例4 对称得出；我们只需要在证明中用 $x$ 代替 $y$。

案例6- 设 $y<x$ 和 $x<y$ 是错误的，并证明 $x=y$。

我们知道

• (a) ($x\not \leq y$ 或
• (b) $y\geq x$) 以及
• (c) ($y\not \leq$ 或
• (d) $x\geq y$),

但是，根据练习 12，（a）和（b）是相同的情况（前提是数字是格式良好的，这些数字是格式良好的），并且（c）和（d）是等价的。因此，（a,b,c,d）简化为

• (e) $y\geq x$ 以及
• (f) $x\geq y$.

这就是等式的定义，因此情况 6 得证。

这三种情况表明至少有一种关系成立。由于证明需要数字是格式良好的这一事实，因此仍然有可能某些伪数字可能与某些超现实数字不可比；它们既不是大于、小于还是等于。

第 3 天及以后

现在我们有七个不同的超现实数字，这些数字是在第 2 天或更早的时候创建的。从这些数字中可以形成 128 个不同的子集，并且超现实数字有 16,384 种可能性。但是我们可以立即快速减少这个数字，因为我们已经证明了我们最多需要左集合和右集合中的一个成员。因此，唯一不同的可能性是 7 个左集合为空的物体，7 个右集合为空的物体，1 个左右集合都为空的物体（我们的朋友零！），以及 49 个左右集合各有一个成员的物体。总共是 64 个，仍然很多。在后面的日子里，除非我们找到一种方法来确定在任何一天创建的哪些物体实际上对应于不同的格式良好的超现实数字，否则数字将呈天文数字增长。

由于我们之前已经证明一个数字位于其左集合和右集合之间，所以我们至少可以丢弃所有 $\{x|y\}$ 物体，其中 $x\geq y$.

练习 14 如果总共有 n 个超现实数字已知，证明从这些数字中可以构建 $n(n-1)/2$ 个格式良好的超现实数字，这些数字的左集合和右集合只有一个成员。提示：证明对于 $n=1$ 和 $n=2$ 成立，然后进行归纳。

因此，在 $\{x|y\}$ 形式的 49 种可能性中，有 21 种是格式良好的，你在练习 2 中已经证明了像 $\{\varnothing |x\}$ 和 $\{x|\varnothing \}$ 这样的物体也是格式良好的超现实数字。这留下了 16,384 种可能性中的 36 个格式良好的超现实数字。减去我们之前从早期已经知道的七个，还剩下 29 个。但是，这些数字中大多数只是最初七个数字的不同表示。我们如何在不一一检查的情况下消除这些数字呢？

假设我们有一组 $n$ 个超现实数字 {x_1, x_2, ..., x_n}，这些数字按升序排序，即
$x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}$.

显然，$\{\varnothing |x_{1}\}$ 是一个新的超现实数，不在集合中，因为它比任何一个数都小，而 $\{x_{n}|\varnothing \}$ 不在集合中，因为它比任何一个数都大。而由于 $x_{i}<\{x_{i}|x_{i+1}\}<x_{i+1}$，新的超现实数出现在旧集合中相邻数字之间。我们将证明这些是唯一创建的新数字。

定理 5 - 简单性定理 给定任何数字 $y$，其左右集合不为空，如果 $x$ 是最老的数字，使得 $Y_{L}<x<Y_{R}$，那么 $x=y$。

首先观察到所有$X_{L}<$ 一些 $Y_{L}$，因为如果不是，就会有一些$x_{L}$，比 $x$ 年龄大，介于 $Y_{L}$ 和 $Y_{R}$ 之间，我们应该使用它而不是 $x$。类似地，所有 $X_{R}>$ 一些 $Y_{R}$。现在要证明 $x=y$，我们只需要所有

• (a) 没有 $y_{R}\leq x$
• (b) $y\leq$ 没有 $x_{L}$
• (c) 没有 $x_{R}\leq y$
• (d) $x\leq$ 没有 $y_{L}$。

点 (a) 和 (d) 是通过构造给出的，(b) 来自传递规则，并观察到 $x_{L}<$ 一些 $y_{L}<y$。点 (c) 通过类似的推理得出。最后要证明的是，在 $Y_{L}$ 和 $Y_{R}$ 之间只有一个最古老的数字。

练习 15 证明在 $Y_{L}$ 和 $Y_{R}$ 之间只有一个最古老的数字。

这完成了证明。

现在我们知道，所有由两个非相邻数字形成的数字都已在之前创建。剩下的就是处理像 $\{-2|\varnothing \}$ 这样的数字，其中左侧或右侧集合为空，但它们不是创建的最大的或最小的数字。

定理 6 如果 $y=\{Y_{L}|\varnothing \}$ 并且 $x$ 是大于 $Y_{L}$ 的最老的数字，那么 $x=y$。 如果 $z=\{\varnothing |Z_{R}\}$ 并且 $w$ 是小于 $Z_{R}$ 的最老的数字，那么 $w=z$。

我们证明第一部分，第二部分将以类似的方式得出。我们需要全部

• (a) 没有 $y_{R}\leq x$
• (b) $y\leq$ 没有 $x_{L}$
• (c) 没有 $x_{R}\leq y$
• (d) $x\leq$ 没有 $y_{L}$。

我们再次从问题的构建中得到 (a) 和 (d)。由于 $x_{R}$ 将比 $x$ 年长，并且大于 $Y_{L}$，与假设相矛盾，我们知道 $X_{R}=\varnothing$ 并且 (c) 从空虚中得出。最后 (b) 必须为真，否则， $Y_{L}<y<x_{L}$，我们将有一些比 $x$ 年长但大于 $Y_{L}$ 的数字。证明只有一个大于 $Y_{L}$ 的最老数字的证明，与练习 15 非常相似。

定理 5 和 6 共同表明，任何一天创建的唯一新数字是

$\{\varnothing |x_{1}\},\{x_{1}|x_{2}\},\{x_{2}|x_{3}\},...,\{x_{n-1}|x_{n}\},\{x_{n}|\varnothing \}$，我们已经知道它们在排序中的位置。因此，无需赘述，以下是第三天结束时已知的全部数字

$-3,-2,-{\dfrac {3}{2}},-1,-{\dfrac {3}{4}},-{\dfrac {1}{2}},-{\dfrac {1}{4}},0,{\dfrac {1}{4}},{\dfrac {1}{2}},{\dfrac {3}{4}},1,{\dfrac {3}{2}},2,3$.

开端的结束

在最初的几天里，我们已经走过了漫长的道路。从无到有，我们构建了第一个数字 $0$，并由此构建了总共十五个不同的数字。在此过程中，我们获得了有用的结果，例如传递律，以及数字位于其组成集合之间的这一事实。我们还确定了在任何一天创建的数字以及哪些数字只是旧数字的新表示。在下一章中，我们将继续讨论超实数的基本算术。