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复数

用于计数的自然数。通过从自然数中减去自然数，我们可以创建整数，它们不是自然数。通过将整数除以整数（非零），我们可以创建有理数，它们不是整数。通过对正有理数开平方根，我们可以创建实数，它们是无理数。通过对负数开平方根，我们可以创建复数，它们是虚数.

任何虚数都是一个实数乘以$-1,$ 的正平方根，我们用符号$i=\,_{+}\!{\sqrt {-1}}.$ 表示。

每个复数$z$ 都是一个实数$a$（$z$ 的实部）和一个虚数$ib.$ 的总和。有点令人困惑的是，$z$ 的虚部 是实数 $b.$

因为实数可以被可视化为一条线上的点，所以它们也被称为（或被认为构成）实数轴。因为复数可以被可视化为平面上点，所以它们也被称为（或被认为构成）复平面。这个平面包含两条轴，一条水平（由实数构成的实轴）和一条垂直（由虚数构成的虚轴）。

不要被“实”和“虚”这些奇特的标签误导。没有一个数字是真实的，就像苹果是真实的。实数与虚数在普通意义上一样虚假，虚数与实数在数学意义上一样真实。如果你还不熟悉复数，那是因为你在计数或测量中不需要它们。你需要它们来计算测量结果的概率。

此图说明了复数的加法，以及其他内容。

$z_{1}+z_{2}=(a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}).$

如您所见，添加两个复数的方式与添加两个向量 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 在一个平面上的方式相同。

我们可能使用极坐标来指定复数的绝对值或模$r=|z|$ 和复数辐角或相位 $\alpha$，它是一个以弧度为单位测量的角度。这些坐标之间的关系如下

$a=r\cos \alpha ,\qquad b=r\sin \alpha ,\qquad r=\,_{+}\!{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

(请记住勾股定理?)

$\alpha ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{if }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{if }}a<0{\mbox{ and }}b\geq 0\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi &{\mbox{if }}a<0{\mbox{ and }}b<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}a=0{\mbox{ and }}b>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}a=0{\mbox{ and }}b<0\end{cases}}\qquad {\hbox{or}}\quad \alpha ={\begin{cases}+\arccos({\frac {a}{r}})&{\mbox{if }}b\geq 0\\-\arccos({\frac {a}{r}})&{\mbox{if }}b<0\end{cases}}$

要了解如何进行复数乘法，你只需要知道$i^{2}=-1$

$z_{1}z_{2}=(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).$

然而，复数乘法还有更简单的方法。代入$\cos$ 和 $\sin ,$

$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+\cdots$

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+\dots ,$

将上述表达式代入 $\cos \alpha +i\sin \alpha$ 并重新排列项，得到

$\sum _{k=0}^{\infty }{(ix)^{k} \over k!}=1+ix+{(ix)^{2} \over 2!}+{(ix)^{3} \over 3!}+{(ix)^{4} \over 4!}+{(ix)^{5} \over 5!}+{(ix)^{6} \over 6!}+{(ix)^{7} \over 7!}+\cdots$

但这个就是 指数函数 $e^{y}$ 当 $y=ix$ 时的幂级数/泰勒级数！ 因此，根据 欧拉公式

$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha ,$

这将两个复数的乘法简化为其绝对值的乘法和相位的加法

$(z_{1})\,(z_{2})=r_{1}e^{i\alpha _{1}}\,r_{2}e^{i\alpha _{2}}=(r_{1}r_{2})\,e^{i(\alpha _{1}+\alpha _{2})}.$

一个非常有用的定义是 复共轭 $z^{*}=a-ib$ $z=a+ib.$ 除了其他用途外，它还允许我们通过计算乘积来计算绝对平方 $|z|^{2}$

$zz^{*}=(a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2}.$

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1. 证明

$\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\quad {\hbox{and}}\quad \sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.$

2. 可以说，五个最重要的数字是 $0,1,i,\pi ,e.$ 写下一个包含这几个数字的方程式，每个数字只出现一次。 (答案？)