量子世界/附录/指数函数

指数函数

我们定义函数 $\exp(x)$，要求

$\exp '(x)=\exp(x)$  和  $\exp(0)=1.$

该函数的值处处等于其斜率。对第一个定义方程进行多次微分，我们发现

$\exp ^{(n)}(x)=\exp ^{(n-1)}(x)=\cdots =\exp(x).$

第二个定义方程现在告诉我们，对于所有 $k.$，$\exp ^{(k)}(0)=1$。结果是一个特别简单的泰勒级数

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{x^{k} \over k!}=1+x+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6}+{x^{4} \over 24}+\cdots$

让我们检查一个良好的函数是否满足方程

$f(a)\,f(b)=f(a+b)$

当且仅当

$f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0).$

我们将通过将 $f$展开为 $a$ 和 $b$ 的幂来完成，并比较系数。我们有

$f(a)\,f(b)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)}{i!\,k!}}\,a^{i}\,b^{k},$

并使用二项式展开

$(a+b)^{i}=\sum _{l=0}^{i}{\frac {i!}{(i-l)!\,l!}}\,a^{i-l}\,b^{l},$

我们也有

$f(a+b)=\sum _{i=0}^{\infty }{f^{(i)}(0) \over i!}(a+b)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{i}{\frac {f^{(i)}(0)}{(i-l)!\,l!}}\,a^{i-l}\,b^{l}=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(i+k)}(0)}{i!\,k!}}\,a^{i}\,b^{k}.$

瞧。

函数 $\exp(x)$ 显然满足 $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)$，因此 $f(a)\,f(b)=f(a+b).$

函数 $f(x)=\exp(ux).$ 也是如此。

此外，$f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)$ 意味着 $f^{(n)}(0)=[f'(0)]^{n}.$

我们由此得出

• 满足 $f(a)\,f(b)=f(a+b)$ 的函数形成了一个单参数族，参数是实数 $f'(0),$ 并且

• 单参数函数族 $\exp(ux)$ 满足 $f(a)\,f(b)=f(a+b)$，参数是实数 $u.$

但是 $f(x)=v^{x}$ 也定义了一个单参数函数族，它满足 $f(a)\,f(b)=f(a+b)$，参数为正数 $v.$

结论：对于任何实数 $u$，都存在一个正数 $v$（反之亦然），使得 $v^{x}=\exp(ux).$

其中最重要的数字之一是 $e,$ 定义为数字 $v$，其中 $u=1,$ 也就是说：$e^{x}=\exp(x)$

$e=\exp(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=1+1+{1 \over 2}+{1 \over 6}+\dots =2.7182818284590452353602874713526\dots$

---

自然对数 $\ln(x)$ 定义为 $\exp(x),$ 的逆函数，所以 $\exp[\ln(x)]=\ln[\exp(x)]=x.$ 证明

${d\ln f(x) \over dx}={1 \over f(x)}{df \over dx}.$

提示：对 $\exp\{\ln[f(x)]\}.$ 求导。