量子世界/附录/场

场

您会记得，函数是一个接受数字并返回数字的机器。场是一个接受一个点的三个坐标或一个时空点的四个坐标并返回一个标量、一个向量或一个张量（空间类型或 4 维时空类型）的函数。

梯度

想象一条曲线 ${\mathcal {C}}$ 在 3 维空间中。如果我们用某个参数 $\lambda ,$ 来标记这条曲线的点，那么 ${\mathcal {C}}$ 可以用 3 向量函数 $\mathbf {r} (\lambda ).$ 我们感兴趣的是标量场 $f(x,y,z)$ 的值在我们从 $\mathbf {r} (\lambda )$ 点移动到 $\mathbf {r} (\lambda +d\lambda )$ 点时变化了多少。 ${\mathcal {C}}$ $f$ 变化多少将取决于坐标 $(x,y,z)$ 变化了多少，这些坐标本身又是 $\lambda .$ 坐标的变化显然由下式给出

(^{*})\quad dx={\frac {dx}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dy={\frac {dy}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dz={\frac {dz}{d\lambda }}\,d\lambda ,

当 $f$ 发生变化时，它是由三种变化叠加而成的，分别是由 $x,$ 的变化引起的，由 $y,$ 的变化引起的，以及由 $z$ 的变化引起的。

(^{*}{}^{*})\quad df={\frac {df}{dx}}\,dx+{\frac {df}{dy}}\,dy+{\frac {df}{dz}}\,dz.

第一项告诉我们当我们从 $(x,y,z)$ 移动到 $(x{+}dx,y,z),$ 时， $f$ 的变化量；第二项告诉我们当我们从 $(x,y,z)$ 移动到 $(x,y{+}dy,z),$ 时， $f$ 的变化量；第三项告诉我们当我们从 $(x,y,z)$ 移动到 $(x,y,z{+}dz).$ 时， $f$ 的变化量。

我们是否应该在 $f$ 中添加从 $(x,y,z)$ 到 $(x{+}dx,y,z),$ 然后从 $(x{+}dx,y,z)$ 到 $(x{+}dx,y{+}dy,z),$ 然后从 $(x{+}dx,y{+}dy,z)$ 到 $(x{+}dx,y{+}dy,z{+}dz)$ 发生的改变？让我们计算一下。

{\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}={\frac {\partial \left[f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\right]}{\partial y}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\,dx.

如果我们取极限 $dx\rightarrow 0$ （就像我们每次使用 $dx$ 时所做的那样），最后一项会消失。因此，我们可以使用 ${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}$ 来代替 ${\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}.$ 将 (*) 代入 (**)，我们得到

df=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{d\lambda }}\right)d\lambda .

将括号中的表达式视为两个向量的点积

标量场 $f,$ 的梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}$ 是一个向量场，其分量为 ${\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}},$
向量 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }},$ 是 ${\mathcal {C}}.$ 上的切线。

如果我们将 $\lambda$ 视为一个物体沿 ${\mathcal {C}}$ 运动时所处的时刻，该时刻物体位于 $\mathbf {r} (\lambda ),$ 那么 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }}$ 的大小是这个物体的速度。

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 是一个微分算子，它接受一个函数 $f(\mathbf {r} )$ 并返回它的梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}.$

$f$ 的梯度是另一种输入输出设备：输入 $d\mathbf {r} ,$ 输出差值

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =df=f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} )-f(\mathbf {r} ).

微分算子 ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 也与点积和叉积一起使用。

旋度

向量场 $\mathbf {A}$ 的旋度定义为

{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {\hat {y}} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {\hat {z}} .

为了了解这个定义的用处，让我们计算一下积分 $\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 在闭合曲线 ${\mathcal {C}}.$ 上。 (曲线上的积分被称为 *线积分*，如果曲线是闭合的，则被称为 *回路积分*。) 这个积分被称为 $\mathbf {A}$ 沿着 ${\mathcal {C}}$ 的 *环流* (或围绕 ${\mathcal {C}}$ 所包围的表面)。让我们从一个具有角点 $A=(0,0,0),$ $B=(0,dy,0),$ $C=(0,dy,dz),$ 和 $D=(0,0,dz).$ 的无限小矩形的边界开始。

四条边的贡献分别为：

${\overline {AB}}:\quad A_{y}(0,dy/2,0)\,dy,$
${\overline {BC}}:\quad A_{z}(0,dy,dz/2)\,dz=\left[A_{z}(0,0,dz/2)+{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}dy\right]dz,$
${\overline {CD}}:\quad -A_{y}(0,dy/2,dz)\,dy=-\left[A_{y}(0,dy/2,0)+{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}dz\right]dy,$
${\overline {DA}}:\quad -A_{z}(0,0,dz/2)\,dz.$

这些加起来为

(^{*}{}^{*}{}^{*})\quad \left[{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right]dy\,dz=({\hbox{curl}}\,\mathbf {A} )_{x}\,dy\,dz.

让我们用一个向量表示这个面积为 $dy\,dz$ （位于 $y$ - $z$ 平面）的无穷小矩形，其大小等于 $d\Sigma =dy\,dz,$ 并且垂直于矩形。（有两个可能的方向。右边所示的右手法则表明 $d\mathbf {\Sigma }$ 的方向与循环方向的关系。）这使我们能够将（***）写成一个标量（乘积） ${\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$ 作为标量，它在坐标轴的旋转或无穷小矩形的旋转下是不变的。因此，如果我们用无穷小矩形覆盖一个曲面 $\Sigma$ 并将它们的循环加起来，我们就得到 $\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

观察到，所有相邻矩形的公共边都被相反方向积分了两次。它们的贡献相互抵消，只有来自 $\Sigma$ 边界 $\partial \Sigma$ 的贡献得以保留。

结论是： $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

这就是斯托克斯定理。注意，等式左边仅仅取决于边界 $\partial \Sigma$ 的 $\Sigma .$ 因此，等式右边也是如此。向量场旋度的曲面积分的值仅仅取决于向量场在曲面边界上的取值。

如果向量场 $\mathbf {A}$ 是标量场 $f,$ 的梯度，并且如果 ${\mathcal {C}}$ 是从 $\mathbf {A}$ 到 $\mathbf {b} ,$ 的曲线，那么

\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {C}}df=f(\mathbf {b} )-f(\mathbf {A} ).

因此，梯度的线积分对于所有具有相同端点的曲线都是相同的。如果 $\mathbf {b} =\mathbf {A}$ 那么 ${\mathcal {C}}$ 是一个回路，并且 $\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 等于零。根据斯托克斯定理，梯度的旋度恒等于零

\int _{\Sigma }\left({\hbox{curl}}\,{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right)\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =0.

散度

向量场 $\mathbf {A}$ 的散度定义如下

{\hbox{div}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.

为了了解这个定义的用处，考虑一个无穷小的体积元 $d^{3}r$ ，其边长为 $dx,dy,dz.$ 让我们计算矢量场 $\mathbf {A}$ 通过 $d^{3}r.$ 表面的净（向外）通量。有三对相对的表面。通过垂直于 $x$ 轴的表面的净通量为

A_{x}(x+dx,y,z)\,dy\,dz-A_{x}(x,y,z)\,dy\,dz={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz.

显然，通过其余表面的净通量是什么。 $\mathbf {A}$ 从 $d^{3}r$ 中流出的净通量因此等于

\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right]\,dx\,dy\,dz={\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.

如果我们用无穷小的长方体填充一个区域 $R$ 并将它们的净向外通量加起来，我们得到 $\int _{R}{\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.$ 观察到所有相邻长方体的公共边被积分了两次，符号相反——一个长方体流出的通量等于另一个长方体流入的通量。因此，它们的贡献相互抵消，只有表面 $\partial R$ 的 $R$ 的贡献仍然存在。最终结果是