量子世界/附录/不定积分

不定积分

我们如何将无限多个无穷小的面积加起来？如果我们知道一个函数$F(x)$，其中$f(x)$ 是其一阶导数，那么这将是基本的。 如果$f(x)={\frac {dF}{dx}}$，那么$dF(x)=f(x)\,dx$ 并且

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}dF(x)=F(b)-F(a).$

我们所要做的就是将$dF$ 的无穷小量加起来，随着$x$ 从 $a$ 增加到 $b,$ $F(x)$ 增加，这仅仅是 $F(b)$ 和 $F(a).$ 之间的差。

一个函数 $F(x)$，其一阶导数为 $f(x)$，称为 $f(x)$ 的 *积分* 或 *反导数*。由于 $f(x)$ 的积分仅确定到一个常数，因此它也被称为 $f(x)$ 的 *不定积分*。需要注意的是，当 $f(x)$ 为负时，其图形与 $x$ 轴之间的面积计为负值。

如果我们不知道被积函数 $f(x)$ 的任何反导数，我们如何计算积分 $I=\int _{a}^{b}dx\,f(x)$？通常我们查阅积分表。自己动手则需要相当的技巧。举例来说，让我们来求解高斯积分

$I=\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,e^{-x^{2}/2}.$

对于这个积分，有人发现了以下技巧。（问题是不同的积分通常需要不同的技巧。）从 $I$ 的平方开始

$I^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-x^{2}/2}\int _{-\infty }^{+\infty }\!dy\,e^{-y^{2}/2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\!\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,dy\,e^{-(x^{2}+y^{2})/2}.$

这是一个关于 $x{-}y$ 平面的积分。我们不必将此平面分割成微小的矩形 $dx\,dy,$，可以将其分割成半径为 $r$、宽度为微分的同心圆环 $dr.$。由于这样的圆环的面积为 $2\pi r\,dr,$ 因此我们有

$I^{2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!dr\,r\,e^{-r^{2}/2}.$

现在只需要进行一次积分。接下来我们利用这样一个事实： ${\frac {d\,r^{2}}{dr}}=2r,$ 因此 $dr\,r=d(r^{2}/2),$ 并且我们引入变量 $w=r^{2}/2$

$I^{2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!d\left({r^{2}/2}\right)e^{-r^{2}/2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!dw\,e^{-w}.$

由于我们知道 $e^{-w}$ 的反导数是 $-e^{-w},$ 我们也知道

$\int _{0}^{+\infty }\!dw\,e^{-w}=(-e^{-\infty })-(-e^{-0})=0+1=1.$

所以 $I^{2}=2\pi$ 并且

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-x^{2}/2}={\sqrt {2\pi }}.$

信不信由你，理论物理学文献中很大一部分都涉及到这种基本高斯积分的变体和扩展。

一个变体是通过将 ${\sqrt {a}}\,x$ 代入 $x$ 来获得的

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-ax^{2}/2}={\sqrt {2\pi /a}}.$

另一个变体是通过将该方程两边都视为关于 $a$ 的函数，并对其进行关于 $a.$ 微分而获得的

$\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,e^{-ax^{2}/2}x^{2}={\sqrt {2\pi /a^{3}}}.$