这个量子世界/附录/相对论/四维向量

四维向量

三维向量是三个实数的集合，在旋转下像坐标$x,y,z.$一样变换。四维向量是四个实数的集合，在洛伦兹变换下像${\vec {x}}=(ct,x,y,z).$的坐标一样变换。

您会记得两个三维向量的标量积在（空间）坐标轴的旋转下是不变的；毕竟，这就是我们称之为标量的原因。类似地，两个四维向量${\vec {a}}=(a_{t},\mathbf {a} )=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$和${\vec {b}}=(b_{t},\mathbf {b} )=(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3}),$的标量积，由下式定义

$({\vec {a}},{\vec {b}})=a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3},$

在洛伦兹变换（以及坐标原点的平移和空间轴的旋转）下是不变的。为了证明这一点，我们考虑两个四维向量${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$的和，并计算

$({\vec {c}},{\vec {c}})=({\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {a}}+{\vec {b}})=({\vec {a}},{\vec {a}})+({\vec {b}},{\vec {b}})+2({\vec {a}},{\vec {b}}).$

产品$({\vec {a}},{\vec {a}}),$ $({\vec {b}},{\vec {b}}),$ 和 $({\vec {c}},{\vec {c}})$ 是不变的 4 标量。但是，如果它们在洛伦兹变换下是不变的，那么标量积 $({\vec {a}},{\vec {b}}).$ 也是不变的。

除了 ${\vec {x}},$ 之外，一个重要的 4 向量是4 速度 ${\vec {u}}={\frac {d{\vec {x}}}{ds}},$，它与世界线 ${\vec {x}}(s).$ 相切。 ${\vec {u}}$ 是一个 4 向量，因为 ${\vec {x}}$ 是一个 4 向量，并且因为 $ds$ 是一个标量（确切地说，是一个 4 标量）。

4 向量 ${\vec {a}}$ 的范数或“大小”定义为 ${\sqrt {|({\vec {a}},{\vec {a}})|}}.$ 可以很容易地证明 ${\vec {u}}$ 的范数等于 $c$（练习！）。

因此，如果我们使用自然单位，则 4 速度是一个单位向量。