量子世界/附录/相对论/合成定理和固有时间

速度合成

事实上，只有三种物理上不同的可能性。（如果 $K\neq 0,$，$K$的大小取决于单位的选择，这告诉我们一些关于我们自己的事情，而不是关于物理世界的任何事情。）

可能性 $K=0$ 产生牛顿力学（“非相对论”）中的 *伽利略变换*

$t'=t,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} t,\quad u=v+w,\quad ds=dt.$

（将使用这种变换定律的理论称为“非相对论”的做法是不合适的，因为它们也满足相对性原理。）在本节的剩余部分，我们假设 $K\neq 0.$

假设物体 $C$ 相对于物体 $B,$ 以速度 $v$ 运动，并且该物体相对于物体 $A.$ 以速度 $w$ 运动。如果 $B$ 和 $C$ 朝同一方向运动，那么 $C$ 相对于 $A$ 的速度是多少 $u$？在上节中我们发现

$a(u)=a(v)\,a(w)-{1-a^{2}(v) \over a(v)\,v}a(w)\,w,$

并且

$K={1-a^{2}(v) \over a^{2}(v)\,v^{2}}.$

这使得我们可以写出

$a(u)=a(v)\,a(w)-{1-a^{2}(v) \over a^{2}(v)\,v^{2}}a(v)\,v\,a(w)\,w=a(v)\,a(w)(1-Kvw).$

将 $a$ 表示为 $K$ 和各自的速度，得到

${1 \over {\sqrt {1+Ku^{2}}}}={1-Kvw \over {\sqrt {1+Kv^{2}}}{\sqrt {1+Kw^{2}}}},$

这意味着

$1+Ku^{2}={(1+Kv^{2})(1+Kw^{2}) \over (1-Kvw)^{2}}.$

我们将它改写为

$Ku^{2}={(1+Kv^{2})(1+Kw^{2})-(1-Kvw)^{2} \over (1-Kvw)^{2}}={K(v+w)^{2} \over (1-Kvw)^{2}},$

除以 $K,$ 最后得到

$u={v+w \over 1-Kvw}.$

因此，除非 $K=0,$ 我们不能仅仅通过将 $C$ 相对于 $B$ 的速度加到 $B$ 相对于 $A$ 的速度来得到 $C$ 相对于 $A$ 的速度。

固有时间

考虑一个时空路径 ${\mathcal {C}}.$ 的一个无限小的线段 $d{\mathcal {C}}$。在 ${\mathcal {F}}_{1}$ 中，它有分量 $(dt,dx,dy,dz),$ 在 ${\mathcal {F}}_{2}$ 中，它有分量 $(dt',dx',dy',dz').$ 使用洛伦兹变换的一般形式，

$t'={t+Kwx \over {\sqrt {1+Kw^{2}}}},\quad x'={x-wt \over {\sqrt {1+Kw^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,$

很容易证明

$(dt')^{2}+K\,d\mathbf {r} '\cdot d\mathbf {r} '=dt^{2}+K\,d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} .$

我们得出结论，表达式

$ds^{2}=dt^{2}+K\,d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dt^{2}+K(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})$

在这个变换下是不变的。它在空间轴的旋转 (为什么？) 和时空坐标原点的平移下也是不变的。这使得 $ds$ 是一个 4-标量。

$ds$ 的物理意义是什么？

沿着 $d{\mathcal {C}}$ 行进的时钟在任何一个$d{\mathcal {C}}$ 缺乏空间分量的参考系中处于静止状态。在这样的参考系中，$ds^{2}=dt^{2}.$ 因此，$ds$ 是沿着 $d{\mathcal {C}}$ 行进的时钟所测量的旅行时间。 $ds$ 是 $d{\mathcal {C}}.$ 的固有时间（或固有持续时间）。相应地，有限时空路径 ${\mathcal {C}},$ 的固有时间（或固有持续时间）为

$\int _{\mathcal {C}}ds=\int _{\mathcal {C}}{\sqrt {dt^{2}+K\,d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}=\int _{\mathcal {C}}dt{\sqrt {1+Kv^{2}}}.$

不变速度

如果 $K<0,$ 那么存在一个具有速度维度的通用常数 $c\equiv 1/{\sqrt {-K}}$，我们可以将 $u=v+w/(1-Kvw)$ 转换为以下形式

$u={v+w \over 1+vw/c^{2}}.$

如果我们将 $v=w=c/2,$ 代入，那么我们将得到 $u={4 \over 5}c<c.$，而不是伽利略的 $u=v+w=c,$。更有趣的是，如果物体 $O$ 相对于 ${\mathcal {F}}_{2},$ 以速度 $c$ 运动，并且如果 ${\mathcal {F}}_{2}$ 相对于 ${\mathcal {F}}_{1},$ 以速度 $w$ 运动，那么 $O$ 相对于 ${\mathcal {F}}_{1}$ 以相同的速度 $c$ 运动：$(w+c)/(1+wc/c^{2})=c.$ 因此，光速 $c$ 是一个不变速度：任何以光速在某个惯性系中运动的物体，在所有惯性系中都以相同的速度运动。

从

$ds^{2}=(dt')^{2}-d\mathbf {r} '\cdot d\mathbf {r} '/c^{2}=dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} /c^{2},$

我们得出相同的结论：如果$O$ 相对于${\mathcal {F}}_{1},$ 以$c$ 的速度运动，那么它将在时间$dt.$ 内运动距离$dr=c\,dt$。因此$ds^{2}=dt^{2}-dr^{2}/c^{2}=0.$ 但是，$(dt')^{2}-(dr')^{2}/c^{2}=0,$ 这意味着$dr'=c\,dt'.$ 因此，$O$ 相对于${\mathcal {F}}_{2}.$ 以相同的速度$c$ 运动。

如果$K=0,$ 也会存在一个不变的速度，但这种情况下的速度是无穷大：任何在一个惯性系中以无穷大的速度运动的物体——它从一个地方到另一个地方不需要时间——在所有惯性系中都是这样。

不变速度的存在阻止了物体在时空中做U形转弯。如果$K=0,$ 很明显，达到$v=\infty .$ 需要无穷大的能量。由于我们无法获得无穷大的能量，因此我们无法在时空图中从垂直方向开始然后做U形转弯（也就是说，我们无法达到，更不用说“超过”水平斜率了）。（这里“超过”水平斜率意味着从正斜率变为负斜率，或者从时间向前变为时间向后。）

如果$K<0,$ 即使达到有限的光速也需要无穷大的能量。想象一下，你花费了一定的燃料从0加速到$0.1\,c.$ 在你现在静止的参考系中，你的速度离光速没有一丝一毫的接近。无论你重复多少次这个过程，情况都是如此。因此，任何有限的能量都不能让你达到，更不用说“超过”等于$1/c.$ 的斜率了。（“超过”等于$1/c$ 的斜率意味着获得更小的斜率。正如我们将看到的，如果我们在任何一个参考系中以超光速运动，那么就会存在一些参考系，在我们中时间会倒流。）