量子世界/附录/相对论/洛伦兹

反对 $K>0$ 的论据

在一个假设的 $K>0$ 的世界中，我们可以定义 $k\equiv 1/{\sqrt {K}}$ （一个具有速度维度的通用常数），我们可以将 $u=v+w/(1-Kvw)$ 转换为以下形式

$u={v+w \over 1-vw/k^{2}}.$

If we plug in $v=w=k/2,$ then instead of the Galilean $u=v+w=k$ we have $u={4 \over 3}k>k.$ Worse, if we plug in $v=w=k,$ we obtain $u=\infty$: if object $O$ travels with speed $k$ relative to ${\mathcal {F}}_{2},$ and if ${\mathcal {F}}_{2}$ travels with speed $k$ relative to ${\mathcal {F}}_{1}$ (in the same direction), then $O$ travels with an infinite speed relative to ${\mathcal {F}}_{1}$! And if $O$ travels with $2k$ relative to ${\mathcal {F}}_{2}$ and ${\mathcal {F}}_{2}$ travels with $2k$ relative to ${\mathcal {F}}_{1},$ $O$'s speed relative to ${\mathcal {F}}_{1}$ is negative: $u=-{4 \over 3}k.$

如果我们使用单位 $K=k=1,$，则与无限小路径段相关的固有时间与该路径段的惯性分量之间的关系为

$ds^{2}=dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$

这是 3 标量 $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$ 的 4 维版本，它在空间旋转下是不变的。因此，如果 $K$ 为正，则惯性系统之间的变换是时空中的旋转。我想你现在明白为什么在这个假设的世界中，两个正速度的合成可以是负速度。

让我们通过从假设 $x'$ 和 $t'$ 轴相对于 $x$ 和 $t$ 轴旋转来推导出合成定理（对于 $k{=}1$）

沿着虚线运动的物体 $O$ 相对于 ${\mathcal {F}}',$ 的速度为 $w=\cot(\alpha +ta)$， ${\mathcal {F}}'$ 相对于 ${\mathcal {F}}$ 的速度为 $v=\tan \alpha ,$，而 $O$ 相对于 ${\mathcal {F}}$ 的速度为 $u=\cot \beta .$ 利用三角关系

$\tan(\alpha +\beta )={\tan \alpha +\tan \beta \over 1-\tan \alpha \tan \beta },$

我们可以得出结论 ${1 \over w}={v+1/u \over 1-v/u}.$ 求解 $u,$ 我们得到 $u={v+w \over 1-vw}.$

我们如何排除 $K>0$ 这一先验可能性？正如本书正文所述，物质的稳定性——更准确地说，存在稳定的物体（i）具有空间范围（它们“占据”空间），并且（ii）由有限数量的物体组成，这些物体没有空间范围（它们不“占据”空间）——取决于存在（a）或多或少模糊的相对位置和（b）与时间无关的相对位置。这些相对位置由概率分布描述，这些分布（a）在空间上不均匀并且（b）在时间上均匀。因此，它们的客观存在需要时空的时间维度与其空间维度之间的客观差异。这排除了 $K>0.$ 的可能性。

为什么？如果 $K<0,$ 并且如果我们使用自然单位，其中 $c=1,$ 我们有

$ds^{2}=+\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.$

从物理学的角度来看，$dt$ 前面的正号和$dx,$ $dy,$ 和 $dz$ 前面的负号之间的唯一客观区别是时空的时间维和空间维。如果 $K$ 为正，即使是这种差异也不存在。

反对 K 为零的情况

那么，什么能反驳 $K=0$ 的可能性呢？

回顾一下自由稳定粒子的传播子

$\langle B|A\rangle =\int {\mathcal {DC}}e^{-ibs[{\mathcal {C}}]}.$

如果 $K$ 消失，我们会有 $ds^{2}=dt^{2}.$ 惯性时间和固有时之间没有区别，从 $A$ 到 $B$ 的每条时空路径都会对传播子 $\langle B|A\rangle ,$ 贡献相同的振幅 $e^{-ib(t_{B}-t_{A})}$，这会导致传播子 $\langle B|A\rangle$ 毫无希望地发散。更糟糕的是，$\langle B|A\rangle$ 将独立于 $A$ 和 $B.$ 之间的距离。为了获得定义明确的有限概率，必须发生抵消（“相消干涉”），这排除了 $K=0.$

实际的洛伦兹变换

因此，在现实世界中，洛伦兹变换采用以下形式

$t'={t-wx/c^{2} \over {\sqrt {1-w^{2}/c^{2}}}},\quad x'={x-wt \over {\sqrt {1-w^{2}/c^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z.$

让我们使用自然单位（$c=1$）以图形方式探索它们。设置 $t'=0,$ 我们有 $t=wx.$ 这告诉我们，$x'$ 轴相对于未标轴的框架的斜率为 $w=\tan \alpha .$ 设置 $x'=0,$ 我们有 $t=x/w.$ 这告诉我们，$t'$ 轴的斜率为 $1/w.$ 因此，标轴以相同的角度在相反的方向旋转；如果 $t'$ 轴相对于 $t$ 轴顺时针旋转，那么 $x'$ 轴相对于 $x$ 轴逆时针旋转。

如果我们考虑运动中时钟的同步，我们会得出相同的结论。考虑三个时钟（1,2,3），它们以相同的速度$w=\tan \alpha$相对于 ${\mathcal {F}}.$ 为了同步它们，我们必须从一个时钟向另一个时钟发送信号。什么样的信号？如果我们希望我们的同步过程独立于我们使用的语言（即独立于参考系），那么我们必须使用以不变速度传播的信号 $c.$

以下是具体操作方法

时钟 2 发送光信号（事件 $A$），并被时钟 1 和 3 反射（事件 $B$ 和 $C,$ 分别）。时钟之间的距离被调整，以便反射的信号同时到达时钟 2（事件 $D$）。这确保了时钟 1 和 2 之间的距离等于时钟 2 和 3 之间的距离，无论比较它们使用的惯性系如何。在 ${\mathcal {F}}',$ 中，时钟处于静止状态，来自 $A$ 的信号在分别到达第一个和第三个时钟时，已经传播了相同的距离。由于它们也以相同的速度 $c,$ 传播，因此它们传播的时间相同。因此，时钟必须同步，以便 $B$ 和 $C$ 是同时发生的。我们可以使用时钟 1 的世界线作为 $t'$ 轴，并将穿过 $B$ 和 $C$ 的直线作为 $x'$ 轴。可以很容易地看出，上图中的三个角度 $ta$ 是相等的。由此以及从 $B$ 到 $D$ 的信号的斜率等于 1（鉴于 $c{=}1$），可以得出两个角度 $\alpha$ 相等的结论。

因此，同时性取决于我们用来描述物理情况的语言——惯性系。如果两个事件$E_{1},E_{2}$在一个参考系中是同时发生的，那么就存在其他参考系，在这些参考系中$E_{1}$发生在$E_{2}$之后，以及存在其他参考系，在这些参考系中$E_{1}$发生在$E_{2}.$

我们在空间和时间轴上放置单位点在哪里？${\mathcal {F}}'$的时间轴的单位点具有坐标$t'=1,x'=0$，并且满足$t^{2}-x^{2}=1,$正如我们从公式（\ref{ds2}）的版本$(t')^{2}-(x')^{2}=t^{2}-x^{2}$中获得的。$x'$轴的单位点具有坐标$t'=0,x'=1$，并且满足$x^{2}-t^{2}=1.$空间和时间轴的单位点的轨迹是由这些方程定义的双曲线。