量子世界/附录/正弦和余弦

正弦和余弦

我们定义函数 $\cos(x)$ 要求

$\cos ''(x)=-\cos(x),\quad \cos(0)=1$  和  $\cos '(0)=0.$

如果你只使用这些信息来绘制这个函数的图像，你会注意到，只要 $\cos(x)$ 为正，其斜率随着 $x$ 的增加而减小（即，其图形向下弯曲），只要 $\cos(x)$ 为负，其斜率随着 $x$ 的增加而增加（即，其图形向上弯曲）。

对第一个定义方程进行重复微分得到

$\cos ^{(n+2)}(x)=-\cos ^{(n)}(x)$

对于所有自然数 $n.$ 使用其余定义方程，我们发现 $\cos ^{(k)}(0)$ 等于 1 对于 k = 0,4,8,12…, –1 对于 k = 2,6,10,14…, 和 0 对于奇数 k。这导致以下泰勒级数

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+\dots .$

函数 $\sin(x)$ 同样通过要求

$\sin ''(x)=-\sin(x),\quad \sin(0)=0,\quad {\hbox{and}}\quad \sin '(0)=1.$

这导致以下泰勒级数

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+\dots .$