此量子世界/附录/泰勒级数

泰勒级数

一个行为良好的函数可以展开成一个幂级数。这意味着对于所有非负整数 $k$ 都有实数 $a_{k}$ 使得

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots$

让我们使用 $(x^{n})'=n\,x^{n-1}$ 计算前四个导数

$f'(x)=a_{1}+2\,a_{2}x+3\,a_{3}x^{2}+4\,a_{4}x^{3}+5\,a_{5}x^{4}+\cdots$

$f''(x)=2\,a_{2}+2\cdot 3\,a_{3}x+3\cdot 4\,a_{4}x^{2}+4\cdot 5\,a_{5}x^{3}+\cdots$

$f'''(x)=2\cdot 3\,a_{3}+2\cdot 3\cdot 4\,a_{4}x+3\cdot 4\cdot 5\,a_{5}x^{2}+\cdots$

$f''''(x)=2\cdot 3\cdot 4\,a_{4}+2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\,a_{5}x+\cdots$

将 $x$ 设置为零，我们得到

$f(0)=a_{0},\quad f'(0)=a_{1},\quad f''(0)=2\,a_{2},\quad f'''(0)=2\times 3\,a_{3},\quad f''''(0)=2\times 3\times 4\,a_{4}.$

我们用 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。我们也用 $f^{(0)}(x)=f(x)$ 来表示 — 将 $f(x)$ 视为 $f(x)$ 的“零阶导数”。因此，我们得到一般结果 $f^{(k)}(0)=k!\,a_{k},$ 其中阶乘 $k!$ 定义为当 $k=0$ 或 $k=1$ 时等于 1，当 $k>1.$ 时等于所有自然数 $n\leq k$ 的乘积。用 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数来表示系数 $a_{k}$，我们得到

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(0) \over k!}x^{k}=f(0)+f'(0)x+f''(0){x^{2} \over 2!}+f'''(0){x^{3} \over 3!}+\cdots$

这就是 $f(x)$ 的泰勒级数。

一个非凡的结果：如果你知道一个良好函数$f(x)$ 的值，以及它所有导数在 *单个点* $x=0$ 的值，那么你就可以知道 $f(x)$ 在 *所有* 点 $x.$ 此外，$x=0,$ 并没有什么特殊之处，所以 $f(x)$ 也由它的值和它在任何其他点 $x_{0}$ 的导数值决定。

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(x_{0}) \over k!}(x-x_{0})^{k}.$