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玻尔

1913年，尼尔斯·玻尔假设轨道原子电子的角动量$L$是量子化的：“允许”值是$\hbar$的整数倍。

$L=n\hbar$，其中$n=1,2,3,\dots$

为什么要量化角动量，而不是其他任何量？

• 给定频率的辐射能量是普朗克常数的倍数。
• 普朗克常数的单位与角动量相同。

玻尔的假设不仅解释了原子的稳定性，还解释了原子发射和吸收电磁辐射的原因。此外，它使他能够以惊人的精度计算出原子氢的光谱——它能够发射和吸收光的频率（可见光、红外光和紫外光）。下图显示了原子氢的可见发射光谱，其中包含巴尔末系的四条线。

原子氢的可见发射光谱，包含巴尔末系的四条线。

除了量子化假设外，玻尔的推理在这一点上仍然完全是经典的。让我们假设，与玻尔一样，电子的轨道是一个半径为$r.$ 的圆。那么，电子的速度由$v=r\,d\beta /dt,$ 给出，其加速度大小由$a=dv/dt=v\,d\beta /dt.$ 给出。消除$d\beta /dt$ 得$a=v^{2}/r.$ 在厘米-克-秒制中，库仑力的大小为$F=e^{2}/r^{2},$ 其中$e$ 是电子和质子的电荷大小。通过牛顿的$F=ma$，最后两个方程得到$m_{e}v^{2}=e^{2}/r,$ 其中$m_{e}$ 是电子的质量。如果我们假设质子静止，那么我们得到电子的动能为$T=m_{e}v^{2}/2=e^{2}/2r$。

如果电子在无穷远处的势能设置为 0，那么它在距离质子$r$ 处的势能$V$ 是将它从$r$ 移动到无穷远处所需的功的负值，

$V=-\int _{r}^{\infty }F(r')\,dr'=-\int _{r}^{\infty }\!{e^{2} \over (r')^{2}}\,dr'=+\left[{e^{2} \over r'}\right]_{r}^{\infty }=0-{e^{2} \over r}.$

因此，电子的总能量为

$E=T+V=e^{2}/2r-e^{2}/r=-e^{2}/2r.$

我们想用电子的角动量 $L=m_{e}vr.$ 来表示它。记住 $m_{e}v^{2}=e^{2}/r,$ 因此 $rm_{e}^{2}v^{2}=m_{e}e^{2},$，并将分子 $e^{2}\,$ 乘以 $m_{e}e^{2}$，分母 $2r$ 乘以 $rm_{e}^{2}v^{2},$ 我们得到

$E=-{e^{2} \over 2r}=-{m_{e}e^{4} \over 2m_{e}^{2}v^{2}r^{2}}=-{m_{e}e^{4} \over 2L^{2}}.$

现在，玻尔提出了与经典物理学不同的理论：他用 $n\hbar$ 代替了 $L$。角动量的“允许”值定义了一系列原子的能量允许值

$E_{n}=-{1 \over n^{2}}\left({m_{e}e^{4} \over 2\hbar ^{2}}\right),\quad n=1,2,3,\dots$

因此，原子只能以等于差值的绝对值的能量量发射或吸收能量

$\Delta E_{nm}=E_{n}-E_{m}=\left({1 \over n^{2}}-{1 \over m^{2}}\right)\,{\hbox{Ry}},$

一个 里德伯 (Ry) 等于 $m_{e}e^{4}/2\hbar ^{2}=13.6056923(12)\,{\hbox{eV.}}$。这也是 电离能 $\Delta E_{1\infty }$ — 将电子从质子中完全移除所需的能量。玻尔预测的值与测量值非常吻合。

使用上述两个原子能量表达式并求解 $r,$，我们得到 $r=n^{2}\hbar ^{2}/m_{e}e^{2}.$ 对于基态 $(n=1)$，这是 氢原子玻尔半径，等于 $\hbar ^{2}/m_{e}e^{2}=5.291772108(18)\times 10^{-11}m.$ 成熟的理论得到了相同的数字，但将其解释为在测量电子到质子的距离时，最有可能找到电子的质子距离。