量子世界/附录/场

场

您会记得，函数是一个接受一个数字并返回一个数字的机器。一个场是一个接受一个点的三个坐标或一个时空点的四个坐标并返回一个标量、一个向量或一个张量（空间类型或 4 维时空类型）的函数。

梯度

想象一下三维空间中的曲线 ${\mathcal {C}}$ 。如果我们用某个参数 $\lambda ,$ 来标记这条曲线的点，那么 ${\mathcal {C}}$ 可以用一个 3 向量函数 $\mathbf {r} (\lambda ).$ 我们感兴趣的是标量场 $f(x,y,z)$ 的值在我们从 ${\mathcal {C}}$ 的一点 $\mathbf {r} (\lambda )$ 到 ${\mathcal {C}}$ 的一点 $\mathbf {r} (\lambda +d\lambda )$ 变化多少。 $f$ 变化多少将取决于 $\mathbf {r}$ 的坐标 $(x,y,z)$ 变化多少，而这些坐标本身是 $\lambda .$ 的函数。坐标的变化显然由下式给出

(^{*})\quad dx={\frac {dx}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dy={\frac {dy}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dz={\frac {dz}{d\lambda }}\,d\lambda ,

当 $f$ 的变化是由三个变化复合而成时，一个变化是由于 $x,$ 的变化，一个变化是由于 $y,$ 的变化，另一个变化是由于 $z$ 的变化。

(^{*}{}^{*})\quad df={\frac {df}{dx}}\,dx+{\frac {df}{dy}}\,dy+{\frac {df}{dz}}\,dz.

第一项告诉我们，当我们从 $(x,y,z)$ 移动到 $(x{+}dx,y,z),$ 时 $f$ 发生了多少变化；第二项告诉我们，当我们从 $(x,y,z)$ 移动到 $(x,y{+}dy,z),$ 时 $f$ 发生了多少变化；第三项告诉我们，当我们从 $(x,y,z)$ 移动到 $(x,y,z{+}dz).$ 时 $f$ 发生了多少变化。

我们是否应该添加在 $f$ 中发生的改变，这些改变是在我们从 $(x,y,z)$ 先移到 $(x{+}dx,y,z),$ 然后从 $(x{+}dx,y,z)$ 移到 $(x{+}dx,y{+}dy,z),$ 然后从 $(x{+}dx,y{+}dy,z)$ 移到 $(x{+}dx,y{+}dy,z{+}dz)$ ？让我们计算一下。

{\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}={\frac {\partial \left[f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\right]}{\partial y}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\,dx.

如果我们取极限 $dx\rightarrow 0$ （正如我们在使用 $dx$ 时所想的那样），最后一项会消失。因此，我们可以用 ${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}$ 来代替 ${\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}.$ 将(*)代入(**)，我们得到

df=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{d\lambda }}\right)d\lambda .

将括号内的表达式视为两个向量的点积。

标量场 $f,$ 的梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}$ ，这是一个向量场，其分量为 ${\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}},$
向量 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }},$ ，它是 ${\mathcal {C}}.$ 上的切线。

如果我们将 $\lambda$ 视为沿 ${\mathcal {C}}$ 运动的物体在 $\mathbf {r} (\lambda ),$ 时的时刻，那么 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }}$ 的大小就是这个物体的速度。

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 是一个微分算子，它接受一个函数 $f(\mathbf {r} )$ 并返回其梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}.$

$f$ 的梯度是另一个输入-输出设备：输入 $d\mathbf {r} ,$ ，得到差值

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =df=f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} )-f(\mathbf {r} ).

微分算子 ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 也常与点积和叉积结合使用。

旋度

向量场 $\mathbf {A}$ 的旋度定义为

{\displaystyle {\hbox{curl}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {\hat {y}} +\left({\frac

为了了解这个定义的用途，让我们计算积分

\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}

在闭合曲线

{\mathcal {C}}.

上。(曲线上的积分称为线积分，如果曲线是闭合的，则称为回路积分。) 这个积分被称为

\mathbf {A}

沿着

{\mathcal {C}}

的环流（或围绕由

{\mathcal {C}}

包围的表面）。让我们从一个具有顶点

A=(0,0,0),

B=(0,dy,0),

C=(0,dy,dz),

和

D=(0,0,dz).

的无限小矩形的边界开始。

四条边的贡献分别为：

${\overline {AB}}:\quad A_{y}(0,dy/2,0)\,dy,$
${\overline {BC}}:\quad A_{z}(0,dy,dz/2)\,dz=\left[A_{z}(0,0,dz/2)+{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}dy\right]dz,$
${\overline {CD}}:\quad -A_{y}(0,dy/2,dz)\,dy=-\left[A_{y}(0,dy/2,0)+{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}dz\right]dy,$
${\overline {DA}}:\quad -A_{z}(0,0,dz/2)\,dz.$

它们加起来是

(^{*}{}^{*}{}^{*})\quad \left[{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right]dy\,dz=({\hbox{curl}}\,\mathbf {A} )_{x}\,dy\,dz.

我们将这个面积为 $dy\,dz$ （位于 $y$ - $z$ 平面上）的无穷小矩形表示成一个向量 $d\mathbf {\Sigma }$ ，其大小等于 $d\Sigma =dy\,dz,$ 并且垂直于该矩形。（有两个可能的方向。右侧所示的右手定则表明 $d\mathbf {\Sigma }$ 的方向与循环方向的关系。）这使我们能够将（***）写成一个标量（积） ${\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$ 。作为标量，它在坐标轴或无穷小矩形的旋转下是不变的。因此，如果我们用无穷小矩形覆盖一个表面 $\Sigma$ 并将它们的循环加起来，我们就得到了 $\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

观察到所有相邻矩形的公共边在相反方向上被积分了两次。它们的贡献相互抵消，只有边界 $\partial \Sigma$ 的 $\Sigma$ 的贡献保留了下来。

底线是： $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

这就是 _斯托克斯定理_。请注意，左侧仅取决于 $\Sigma$ 的边界 $\partial \Sigma$ 。因此，右侧也是如此。向量场旋度的曲面积分的数值仅取决于该表面边界上的向量场的值。

如果向量场 $\mathbf {A}$ 是标量场 $f,$ 的梯度，并且如果 ${\mathcal {C}}$ 是从 $\mathbf {A}$ 到 $\mathbf {b} ,$ 的曲线，那么

\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {C}}df=f(\mathbf {b} )-f(\mathbf {A} ).

因此，梯度的线积分对于所有具有相同端点的曲线都是相同的。如果 $\mathbf {b} =\mathbf {A}$ ，则 ${\mathcal {C}}$ 是一个循环，并且 $\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 为零。根据斯托克斯定理，梯度的旋度恒为零

\int _{\Sigma }\left({\hbox{curl}}\,{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right)\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =0.

散度

向量场 $\mathbf {A}$ 的 *散度* 定义为

{\hbox{div}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.

为了理解这个定义的用途，可以考虑一个无穷小体积元素 $d^{3}r$ ，其边长分别为 $dx,dy,dz.$ 让我们计算矢量场 $\mathbf {A}$ 穿过 $d^{3}r.$ 表面的净通量（向外）。有三对相对的表面。穿过垂直于 $x$ 轴的表面的净通量为

A_{x}(x+dx,y,z)\,dy\,dz-A_{x}(x,y,z)\,dy\,dz={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz.

其他表面的净通量也显而易见。 $\mathbf {A}$ 穿过 $d^{3}r$ 的净通量因此等于

\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right]\,dx\,dy\,dz={\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.

如果我们将区域 $R$ 用无穷小的平行六面体填充并将其净通量相加，我们得到 $\int _{R}{\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.$ 观察到所有相邻平行六面体的公共边被积分了两次，且符号相反 - 一个的通量等于另一个的通量。因此，它们的贡献互相抵消，只有来自 $\partial R$ 的 $R$ 表面的贡献得以保留。结论