提尔·欧伦施皮格尔的趣味系列

本维基教科书探讨了巴尔末系振动频率比与理查德·施特劳斯(* 1864; † 1949)的交响诗提尔·欧伦施皮格尔的滑稽恶作剧的开场主题的音调频率比之间的惊人相似性。

毫无疑问，不仅需要卓越的音乐才能才能实现这种作曲上的转移，理查德·施特劳斯还拥有必要的天赋和创造力，才能从基本的物理材料中创作出如此高水平的作品。它是基于先前在德语维基教科书中发表的适当文章，并通过www.DeepL.com/Translator（免费版本）广泛翻译。

简介

提尔·欧伦施皮格尔据说是一位游历的狡猾无赖，生活在14世纪，他装傻充愣，对他的同胞们玩了许多恶作剧。

巴尔末系，以瑞士数学家和物理学家约翰·雅各布·巴尔末(* 1825; † 1898)命名，描述了氢原子光谱中的一系列谱线，这些谱线可以用特定的电磁辐射频率或波长来描述，其中五条谱线位于可见光范围内。这些谱线最初是在阳光中发现的，因为氢元素是恒星的主要成分，而且由于阳光的亮度很高，因此可以很好地研究阳光。后来，氢谱线也在明亮恒星的光线下被探测到，例如夜空中最亮的恒星——大犬座α星（天狼星），位于大犬座。

在作曲的时候，作曲家理查德·施特劳斯和数学家兼作曲家汉斯·索默（* 1837; † 1922，实际上是名叫索默的汉斯·辛肯）在魏玛成为朋友，他对光学非常了解。^[1] 因此，理查德·施特劳斯很可能通过他这位像父亲一样的朋友汉斯·索默了解了当时最新的物理发现，以及巴尔末光学系。他利用这些信息，也许是以一种顽皮的方式，将五条可见光谱线的频率转换为音调频率，从而获得了其交响诗提尔·欧伦施皮格尔的滑稽恶作剧开场主题中的五个音符c - f - g - gis - a。

巴尔末系

通过添加能量可以激发气体中的原子或分子。在这个过程中，原子壳层中的电子被激发到更高的离散能级。通过自发发射，电子最终会随机落回到较低的能级，在这个过程中释放的能量以光子的形式发射出来，光子的振荡频率 $\nu$ 可以通过光速 $c$ 来表达，其固定值为 299792458 米/秒

\nu ={\frac {c}{\lambda }}

这里 $\lambda$ 是原子发射的光粒子的波长，每个波长对应于特定的饱和颜色。白光具有连续光谱，包含几乎所有可见波长。

.

如果原子被光激发，与能级匹配的波长的光子在这个过程中会被破坏（吸收），在相应的吸收光谱中可以在相关波长处看到一条暗线。如果气体被激发形成等离子体，光子只会以与能级匹配的波长产生（发射），这些光子可以在发射光谱中看到明亮的线条。

这些线条在光学光谱仪屏幕上的位置取决于所用玻璃棱镜的折射角或所用衍射光栅的特性，这些特性取决于所检查光的波长。因此，所实现的折射角由所用光学设备中的几何布置决定。

使用光学棱镜获得氢发射光谱：左侧具有被激发发光的氢的光源通过一个会聚透镜成像到狭缝中。狭缝通过一个准直透镜成像到无穷远，这些光束穿过一个三角形棱镜。该棱镜根据波长将入射光分成不同的方向（色散）；红色光比紫色光偏转更弱。使用另一个透镜，将狭缝成像到屏幕上（右下角），在那里可以看到谱线。

这些波长也可以从恒星（最重要的是我们的太阳）的光的吸收光谱中得知，因为它们在很大程度上是由氢组成，并且具有很高的能量转换率。英国医生、物理学家和化学家威廉·海德·沃拉斯顿（* 1766; † 1828）是第一个在 1802 年描述太阳光谱中的这些暗线的人。德国光学仪器制造商和物理学家约瑟夫·夫朗和费（* 1787; † 1826）也在 1814 年独立地描述了这些暗线，并对其进行了系统性研究。

当激发态电子在氢原子中从较高能级 $E_{m}$ 跃迁到第二低能级 $E_{2}$ 时，就会产生巴尔末系的波长 $\lambda _{m,2}$ 。这个系列的光谱线以瑞士数学家和物理学家 **约翰·雅各布·巴尔末**（* 1825； † 1898）的名字命名，他能够通过他凭经验发现的广义 **巴尔末公式** 对波长 $\lambda _{m,n}$ 提出数学规律，并发表在 **1884 年** 的《巴塞尔自然科学学会会刊》上：^[2]

\lambda _{m,n}=A\left({\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\right)

其中

m>n

且

n\geq 1

这里 $A=\lambda _{\infty ,n}\approx 364.506820{\text{ nanometres}}$ 是紫外线中的一个常数波长。巴尔末称之为氢的 **基本数**，其值分别为 3645.6 埃和 364.56 纳米，由于当时的测量精度略高。

然而，当时的科学家还不知道能级的存在，因此对这种现象的缺乏解释感到震惊。约翰·雅各布·巴尔末在他的出版物中写道：

特别引人入胜的是前四条氢谱线的波长之间的数值关系。这些波长之间的关系可以用很小的数字非常精确地表达出来。

计算出的波长和观测到的波长之间的差异非常小，以至于这种一致性令人惊讶。

从这些比较可以看出，[...] 这个公式也适用于第五条[...]氢谱线。

巴尔末系系数 $k_{m,2}$ ，它是从 $n=2$ 的括号表达式中得到的，也被约翰·雅各布·巴尔末给出。

k_{m,2}={\frac {m^{2}}{m^{2}-4}}

这些系数 $k_{m,2}$ 和相应的波长 $\lambda _{m,2}$ ，加上对巴尔末系前五条谱线的附加定义 $r_{3}:=1$ ，其中 $3\leq m\leq 7$

m	$k_{m,2}$ 的有理值	$k_{m,2}$ 的十进制值	比例 $r_{m}=r_{m-1}\cdot {\frac {k_{m-1,2}}{k_{m,2}}}$	倒数的十进制值 ${\frac {1}{r_{m}}}$	波长 $\lambda _{m,2}=A\cdot k_{m,2}=A{\frac {k_{3,2}}{r_{m}}}$ 以纳米为单位
3	${\frac {9}{5}}$	$1.8$	$1$	$1$	656.112
4	${\frac {16}{12}}={\frac {4}{3}}$	$1.{\overline {3}}$	${\frac {27}{20}}$	$0.{\overline {740}}$	486.009
5	${\frac {25}{21}}$	$1.{\overline {190476}}$	${\frac {189}{125}}$	$0.{\overline {661375}}$	433.937
6	${\frac {36}{32}}={\frac {9}{8}}$	$1.125$	${\frac {8}{5}}$	$0.625$	410.070
7	${\frac {49}{45}}$	$1.0{\overline {8}}$	${\frac {81}{49}}$	$0.{\overline {604938271}}$	396.907

巴尔末系五个最长波长可见光谱线的强度 $H_{\alpha }$ , $H_{\beta }$ , $H_{\gamma }$ , $H_{\delta }$ 和 $H_{\epsilon }$ ，关于光波长 $\lambda$ ..

在他的出版物中，巴尔末除其他外，还给出了由 **安德斯·乔纳斯·埃格斯特朗** (* 1814; † 1874) 在他 1862 年关于太阳光谱的工作中通过实验确定的可见氢线的波长:^[3]

m	波长 $\lambda _{m,2}$ 以纳米为单位	命名	命名遵循夫琅和费	颜色名称	氢谱线的频率 $\nu _{m,2}$ 以赫兹为单位
3	656.2	$H_{\alpha }$	C 线	红色	$4.569\cdot 10^{14}$
4	486.1	$H_{\beta }$	F 线	蓝绿色	$6.168\cdot 10^{14}$
5	434.0	$H_{\gamma }$	靠近 G	蓝色	$6.909\cdot 10^{14}$
6	410.1	$H_{\delta }$	h 线	紫色	$7.311\cdot 10^{14}$
7	396.8	$H_{\epsilon }$	靠近 $H_{I}$	紫色	$7.553\cdot 10^{14}$

或者，也可以用里德伯常数 $R_{\infty }={\frac {4}{A}}\approx 1.09737316\cdot 10^{7}\,\mathrm {m^{-1}}$ 计算频率 $\nu _{m,n}$

\nu _{m,n}=c\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)

其中

m>n

且

n\geq 1

频率 $\nu _{A,2}$ ，在巴尔末系中 $n=2$ ，当氢的基态为 $m\rightarrow \infty$ 时，可以计算如下

\nu _{A,2}=\nu _{\infty ,2}=c\cdot R_{\infty }{\frac {1}{4}}\approx 8.224605\cdot 10^{14}\,{\text{Hertz}}

组成

提尔·艾乌伦斯比格尔的快乐恶作剧

2001 年，美国海军乐队演奏了《提尔·艾乌伦斯比格尔的快乐恶作剧》。

《提尔·艾乌伦斯比格尔的快乐恶作剧》是在德国作曲家理查德·施特劳斯（* 1864 年；† 1949 年）发现巴尔末系九年后创作的。它是为大型管弦乐队创作的音调诗，演奏时长 15 分钟，写于 **1893 年至 1894 年之间**，当时理查德·施特劳斯在希腊和埃及度过了几个月，从肺炎的后期影响中恢复过来，他的歌剧《贡特拉姆》也已完成。

最初，理查德·施特劳斯似乎计划让这首作品直接从著名的、令人印象深刻的六段提尔·艾乌伦斯比格尔主题开始。只有在修改过程中，理查德·施特劳斯才在作品开头加上了五小节的前奏。在创作过程中，提尔·艾乌伦斯比格尔主题只在结尾再次出现。

前奏最终由作曲家用“曾经有一个滑稽的傻瓜...”和“悠闲地”这两个词命名，紧随其后的提尔·艾乌伦斯比格尔主题用“名叫提尔·艾乌伦斯比格尔”和“逐渐变得更加活泼”这两个词命名。 ^[4]。

作品的开头用 F 大调记谱，提尔·艾乌伦斯比格尔主题的五个音符为 c - f - g - gis - a。它们被重复了两次。

交响诗《提尔·艾乌伦斯比格尔的快乐恶作剧》的编号为 28，它于 1895 年 11 月 5 日在科隆首演，由德国作曲家弗朗茨·武尔纳（* 1832 年；† 1902 年）指挥。

查拉图斯特拉如是说

在此背景下，值得注意的是理查德·施特劳斯创作的带有作品编号 30 的交响诗 **查拉图斯特拉如是说**，其在不久后创作完成，同样也包含着十分明显的物理数字关系的参考，并使用了包含五个音符的开场主题。

序曲 **日出** 中所使用的开场主题同样也源自物理数字序列，即 **自然音列**，其中第一个、第二个、第三个、第四个和第五个音符，其频率比为 1:1、2:1、3:2、4:3 和 5:4，与基音之间存在着至关重要的关系。

施特劳斯再次使用 C 音作为基本音符，在高音 C 和低音 C 上以八度音程持续演奏，最初由低音提琴、管风琴踏板和低音大管演奏四个小节，随后四支 **C 号小号** 加入，并以其独特的升序主题演奏。对于他的小号主题，理查德·施特劳斯使用了自然音阶中的接下来的四个音符：c'、g'、c 和 e，最终听到的是一个由几乎整个乐团演奏的明亮的 C 大调和弦，随后第三音发生变化，立即变为 C 小调。在定音鼓短暂的三连音间奏之后，演奏了两个四度 G 和 C，小号主题再次出现，并以 C 小调和 C 大调的倒置和弦序列演奏。就像在交响诗 **蒂尔·厄伦斯皮格尔的快乐恶作剧** 中一样，该主题第三次出现，然后进一步发展，这次所形成的 C 大调和弦可以被解读为紧随其后的 F 大调的属和弦。四个小节之后，序曲以所有乐器演奏的强奏 C 大调结束。

在管弦乐曲的后续部分，理查德·施特劳斯还在 **病愈者** 部分中使用了与天文相关的数字 12，引入了 **十二音列**。^[5]

**十二音动机** 位于交响诗 **查拉图斯特拉如是说** 中 “Der Genesende” 部分的开头，由大提琴、低音提琴和长号演奏。前三个音符 e - h - e' 对应于序曲中出现的第一个小号主题的三个自然音，首先向上一个五度，然后向上一个四度。从 e' 音符到最后一个音符 c' 的十二个音符都在一个八度音程内，并代表一个十二音列，因为它们都有不同的音高：e' - es' - b - ges - g - h - d' - cis' - gis - f - a - c'。e 升，从倒数第二个小节延伸到最后一个小节，是紧随其后的 f 音的同音异名。
交响诗 **查拉图斯特拉如是说** 中 “Der Genesende” 部分开头的 **十二音动机**。

在名为 **夜游者** 歌曲的作品的最后一部分，他使用了十二声的午夜钟声。数字 12 不仅与夜晚被划分为 12 个 **夜间** 时辰密切相关，还与夜间可见的黄道十二宫有关，这 12 个 **夜间** 星宫由 7 颗 **变化** 的恒星穿过，木星从地球上看一年绕这些星宫运行一次。

这首交响诗于 1896 年 11 月底由理查德·施特劳斯在法兰克福首演。

只有少数其他物理数字序列适合用于音乐主题的音高。此外，值得注意的是，理查德·施特劳斯既不是十二音音乐的先驱者，也不是其支持者，因此他仍然使用十二音音乐的事实可以被视为象征性的，并且毫无疑问也带有几分调皮的意味。

三首根据奥托·尤利乌斯·比尔鲍姆诗歌创作的歌曲

巧合的是，作品 **三首根据奥托·尤利乌斯·比尔鲍姆诗歌创作的歌曲** 中的三首诗歌 **黄昏梦**、 **跳动的心** 和 **夜行**，创作于 1895 年，作品编号为 29，创作于这两首交响诗之间，同样也与太阳、月亮、星星等天体以及人们在自然中对它们的观察有关。

第一首： **黄昏梦** (F 升大调 / B 大调 / F 升大调，非常安静，2/4 拍)
- ... 在暮色中，太阳消失，星辰闪耀，
- ... 在柔和的蓝色光线中。
- ... 在柔和的蓝色光线中。
第二首： **跳动的心** (G 大调，活泼欢快，快板活泼，2/4 拍)
- ... 你金色的太阳在天堂！ (以辉煌的 C 大调)
第三首： **夜歌** (c 小调，适度缓慢，3/4 拍)
- 月亮散发出银色的光...
- ... 纯净如同太阳的爱。

关系

音程

巴尔末系中人眼可见的前五个氢谱线的光频率 ( $3\leq m\leq 7$ ) ( $n=2$ ) 与交响诗 **蒂尔·厄伦斯皮格尔的快乐恶作剧** 中第一个主题的五个音符的频率比基本一致，该主题之后立即重复了两次。

音符名称	音符频率 $f_{m}$ 以赫兹为单位	频率比与下一个音符相比	m	氢谱线频率 $\nu _{m,2}$ 以赫兹为单位	频率比与下一条谱线相比	波长 $\lambda _{m,2}$ 以纳米为单位
c	261.6	1.335	3	$4.569\cdot 10^{14}$	1.350	656.1
f	349.2	1.122	4	$6.168\cdot 10^{14}$	1.120	486.0
g	392.0	1.059	5	$6.909\cdot 10^{14}$	1.058	433.9
gis	415.3	1.059	6	$7.311\cdot 10^{14}$	1.033	410.1
a	440.0		7	$7.553\cdot 10^{14}$		396.9

因此，第二列中给出的音符频率是指以 440 赫兹为标准音高的 A 音。最后一列中给出的波长几乎与巴尔末在 1884 年发表的可见光范围内氢谱线的五个波长完全一致（见上文）。

如果光频率 $\nu _{m,2}$ 乘以平均转换系数 $u_{440}=5.713\cdot 10^{-13}$ ，则对应的声音频率 $f_{m}=u_{440}\cdot \nu _{m,2}$ 以及理查德·施特劳斯升序主题的音乐音程。

调音音高

需要说明的是，这个换算因子可以任意选择，但必须固定下来。在合奏音乐中，乐器的调音一直以来都需要进行调整，以确保所有乐器都能一起发出和谐的声音。为此，人们还使用调音音或一个**标准音高**，其音高是固定的。法国学者**约瑟夫·索弗尔**（* 1653 年；† 1716 年）以及后来的德国物理学家和天文学家**恩斯特·克拉德尼**（* 1756 年；† 1827 年）提议使用一秒钟作为**物理调音**的基本时间单位，用于确定 C 音。这意味着 C 音是一个一秒钟的单位。也就是说，C0 的频率正好是 1 赫兹，而这个基音向上所有八度音的频率始终是前一音的两倍。这将导致以下序列：

音符名称	因子	音调频率 $f$ 单位为赫兹
C0	$2^{0}$	1
C1	$2^{1}$	2
C2	$2^{2}$	4
C3	$2^{3}$	8
C4	$2^{4}$	16
C5	$2^{5}$	32
C6	$2^{6}$	64
C7	$2^{7}$	128
C8	$2^{8}$	256
C9	$2^{9}$	512

如果要为电磁波频率到声波频率的转换寻找一个参考音高，对于物理学家来说，很显然会以这个物理调音的 C 音为基准。

从音乐的角度来看，这个序列中的前五个音调只具有理论意义，实际上人类无法感知它们的声音。A 音比它下方直接的 C 音高一个大六度（或九个半音），或者比它上方直接的 C 音低一个小三度（或三个半音）。如果将这个序列中 C8 和 C9 之间最后一个八度音的 A 音作为标准音高，它在等音律（十二个连续的半音间隔都具有相同的频率比率 ${2}^{\frac {1}{12}}\approx 1.059463$ ）的情况下，它具有以下频率：

f_{A}=f_{C8}\cdot {2}^{\frac {9}{12}}=f_{C9}\cdot {2}^{-{\frac {3}{12}}}\approx 430.539{\text{ Hertz}}\approx 431{\text{ Hertz}}

当标准音高 A 音的频率为 430.539 赫兹时，提尔·欧伦斯比格主题的五个音符的音高如下：

音符名称	音调频率 $f_{m}$ 单位为赫兹	m
c	256.000	3
f	341.719	4
g	383.567	5
gis	406.375	6
a	430.539	7

这导致了一个稍小的平均因子 $u_{431}=5.591\cdot 10^{-13}$ ，作为理查德·施特劳斯升序主题的光频和声频之间的比例常数 $f_{m}=u_{431}\cdot \nu _{m,2}$ 。

例如，这些音调在 19 世纪早期的 1829 年 **巴黎调音** 中使用。然而，随着时间的推移，出于实际原因，参考音高越来越高——弦乐器在弦被拉得更紧时声音更饱满、更响亮，尽管它们的自然频率更高。理查德·施特劳斯意识到了其中涉及的问题，并在去世前几年对音乐会音高的提高发表了如下评论：^[6]。

我们管弦乐队的音调越来越高，让人难以忍受。一个可怜的女歌手是不可能把我在最高音区写的 A 大调花腔唱成 H 大调的，这真是驴子才能做到的事。

让我们回到 **巴黎 A** 吧，以免我们可怜的歌手们把他们为数不多的几根嗓子都喊哑了！

巧合还是不巧合

问题是，这些物理和音乐事实是巧合，还是说它们不能是巧合。由于明显没有可靠的证据证明是巧合，因此这个问题无法回答。

至少，必须指出，这将是一个极其非凡的巧合。仅从 12 个音符中选出 4 个音符，就有 ${12}^{4}=20736$ 种可能性来让这四个音符在任何初始音符之后紧随其后。因此，从这个音符库中随机选择这五个音符中恰好包含这五个音符的概率略小于 0.00005。其他主题的音符少于或多于五个，音域更广，或者起始音符不同，这进一步显著地增加了可能性，并相应地降低了巧合发生的概率。

在巴尔末系被发现并被专业圈子讨论仅仅几年后，该主题包含的五个音符 c - f - g - gis - a，与许多其他实际创作的主题不同，它甚至不是五声音阶，而是包含了半音，这个主题仅仅是偶然和巧合创作出来的概率更小。

最后，必须考虑到，这个主题用 F 大调记谱，以 C 音符开始，该音符在 18 世纪和 19 世纪通常用当时定义的秒的时间单位来纯物理地确定其音高。

在规模庞大的《国际音乐资料汇编》(RISM) 中，在一百万份以上的音乐文献中，没有其他例子以仅包含这五个音符的主题开头。在 1893 年之前，只有两个其他例子以 C 大调创作

卡尔·切尔尼 (* 1791; † 1857)：C 大调钢琴练习（6/8 拍），作品 599，编号 38^[7]
匿名：C 大调兰德勒舞曲（3/4 拍）^[8]

根据这些考虑，这个主题在此时完全由偶然创造出来的概率当然不为零，但相当低。

量子物理学背景

当光谱线被发现，甚至在1884年约翰·雅各布·巴尔默凭经验发现了数学规律并用巴尔默公式描述它们时，这种离散光谱线出现的物理和理论原因仍然完全未知。直到20世纪上半叶，量子力学才使人们能够非常精确地描述原子的结构以及带电物质粒子（例如电子）与光粒子（光子）之间的相互作用。

电磁光场与其他粒子的反应方式是，具有能量 $E=h\cdot \nu$ 的量子要么被捕获，要么被发射。常数 $h$ 是普朗克作用量子，而 $\nu$ 是电磁波的频率。

光的粒子性是在1899年到1905年期间，由德国研究人员马克斯·普朗克（* 1858；† 1947）从热辐射定律得出，并由他的年轻同事阿尔伯特·爱因斯坦（* 1879；† 1955）在关于光的产生和转化的一个启发性观点的出版物中从光电效应（或光电效应）中得到强化。1918年，马克斯·普朗克因发现能量量子获得诺贝尔物理学奖；1921年，阿尔伯特·爱因斯坦因发现光电效应定律获得诺贝尔物理学奖。从那时起，波粒二象性的流行词就贯穿了关于如何理解微观事物物理学的艰难讨论。是的，即使是音乐的声波也有微小的颗粒：声子，其能量根据普朗克-爱因斯坦公式与频率成正比。

即使是具有静止质量的粒子，例如电子，也可以理解为物质波。物质波这个术语，以法国物理学家路易·德布罗意（* 1892；† 1987）命名，建立了波长 $\lambda$ 和频率 $\nu$ 之间的关系，适用于具有能量 $E$ 和动量 $p$ 的物质波。

\lambda ={\frac {h}{p}}

\nu ={\frac {E}{h}}

他因发现电子的波动性于1929年获得诺贝尔物理学奖。

当马克斯·普朗克引入作用量子时，他并不知道该常数的普遍意义。它明确而根本地将空间和时间的尺度与质量、能量和动量的尺度联系起来。在现代国际单位制中，力学只知道一个任意量，即秒。米和千克是通过光速 $c$ （自1983年起）和普朗克常数 $h$ （自2019年起）的确定固定值从秒推导而来。后者被1967年的一项法令钉死在铯原子量子跃迁的9 192 631 770个周期上。

氢原子

给出的公式涉及自由飞行的粒子的物质波。稍后，一位杰出的理论家构建了更一般的波动方程，这些方程具有吸引或排斥粒子的力。为这种新的波动力学的主要例子让路！

氢原子中的电子和质子之间的键，当存在满足1926年奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（* 1887；† 1961）提出的著名薛定谔方程的空间集中驻波时，才以相对稳定的，即静止的形式出现。与弦和管风琴管等大型机械物体一样，它们各种振动或驻波形式的可能频率与小整数密切相关。自毕达哥拉斯以来，我们就知道音调的谐波音程不过是在其比率为两个整数的频率。它们很容易作为振动物体的固有频率出现。

氢原子的自然频率遵循 $n=1,2,3,...$ 的公式 $\nu _{n}={\frac {\nu _{1}}{n^{2}}}$ ，其中 $\nu _{1}$ 是出现频率最高的频率。原子的结合能相对于游离的电子和质子对以负值衡量。结果是 $E_{n}=-h\cdot \nu _{n}$ 。再次，普朗克常数 $h$ 参与进来。主量子数为 1 的最低能量 $E_{1}=-13.6{\text{ eV}}$ （eV 代表能量单位电子伏特）属于没有节点的球形驻波。激发能量 $E_{n}$ 具有对称的空间结构，具有节点面，将波形划分为多个“瓣”或“波腹”。图片右侧展示了主量子数 n 从 1 到 4 的示例。您可以看到恒定幅度区域和恒定相位颜色。

量子力学解释了氢原子如何发光。它从状态 $E_{m}$ 跃迁到较低状态 $E_{n}$ ，其中 $m>n$ 。能量 $\Delta E=E_{m}-E_{n}$ 因此转移到一个光子，其频率位于光谱序列中，可以使用以下里德伯公式确定

\Delta E=h\cdot \nu _{m,n}=|E_{1}|\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)

物理学方法之一是微扰计算，根据该计算，即使是经典的电振荡也会导致氢原子的受激量子跃迁，并且频率与实验确定的光谱完全一致。但要解释光量子自发发射，需要对光场进行彻底的粒子化处理：量子场论。用它的计算方法，可以正确地得出原子的激发态并不完全稳定。光子可以从真空中出现并与电子的适当状态耦合。

我们应该感谢奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利（* 1900；† 1958）对氢光谱做出的深刻解释，他与丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（* 1885；† 1962）、德国物理学家维尔纳·海森堡（* 1901；† 1976）、上述的埃尔温·薛定谔等人为量子力学的科学革命做出了重要贡献。尼尔斯·玻尔因其对原子结构和辐射的研究而于 1922 年获得诺贝尔物理学奖。维尔纳·海森堡因创立量子力学而于 1932 年获得诺贝尔物理学奖，其应用导致了氢的同素异形体的发现，等等。

1926 年，沃尔夫冈·泡利通过一组自包含的对称算子成功地对氢模型进行了代数表述。^[9] 他能够完全不使用麻烦的薛定谔微分方程就能推导出光谱。电子和质子之间库仑吸引力的特殊形式允许高度对称性。

自那时起，对称群在物理学中扮演着越来越重要的角色。这些群通常与一系列完整的量子数联系在一起，在自然界中得到体现。对称和和谐显然密切相关。德国理论物理学家**阿诺德·索末菲**（* 1868 年；† 1951 年）于 1919 年 9 月在慕尼黑在其著作《原子结构与光谱线》的前言中写道：

自从光谱分析被发现以来，任何有见识的人都不会怀疑，如果人们学会了理解光谱的语言，那么原子问题就会得到解决。然而，60 年的光谱学实践积累了海量的材料，其多样性在最初似乎是无法解开的。几乎是七年的 X 射线光谱学，通过从根本上把握原子问题并照亮原子的内部，为澄清问题做出了更大的贡献。**我们今天从光谱语言中听到的是原子真正的天球音乐，是整数比例的和谐共鸣，是在所有多样性中不断增长的秩序和和谐。**光谱线理论将永远铭记**玻尔**的名字。但另一个名字也将与它永远联系在一起，那就是**普朗克**的名字。所有关于光谱线和原子物理学的整数定律最终都源于量子理论。它是自然界演奏**光谱音乐**的神秘**工具**，按照其**节奏**来调控原子和核的结构。

音乐理论背景

听觉感知

人耳是一个非凡的测量仪器，对声波的振幅和频率具有*对数*敏感性。这意味着对我们来说，当振幅乘以相同的因子时，响度会以相同的增量增加 - 而不是当添加相同的数量时。同样，当频率以相同的因子增加时，音高对我们来说也会以相同的步长增加。因子 2 被特别清楚地感知，即作为一个八度。在八度的间隔内，旋律听起来如此相似，以至于音符被赋予相同的名称，并辅以短横线或数字，如果你想指示八度的位置。

许多人熟悉我们用来描述振幅比率的对数度量。因子 10 被定义为 20 分贝。定义。振幅因子 $q$ 可以通过十进制对数 $\operatorname {lg}$ 或 $\log _{10}$ 或任何底的对数 $\log$ 转换为**分贝 (dB) 单位**的等级 $Q$

Q\,{\text{in dB}}=20\,{\text{dB}}\cdot \log _{10}\;q=20\,{\text{dB}}\cdot {\frac {\log \;q}{\log \;10}}

相同的原理适用于频率或感知音高。因子 2 被定义为 1200 厘。在平均律中，每个十二个半音 - 或每个小二度 - 按照音乐理论的定义大小为 100 厘。十二个大小相同的半音直接位于彼此之上构成一个八度，因此八度的大小为 1200 厘。给定频率比 $q$ 下的音高差 $c$ 可以用以下公式通过任何底的对数 $\log$ 或二元对数 $\operatorname {ld}$ 或 $\log _{2}$ 分别计算**厘 (C) 单位**的音高差

c\,{\text{in Cent}}=1200\,{\text{C}}\cdot \log _{2}\;{q}=1200\,{\text{C}}\cdot {\frac {\log \;{q}}{\log \;{2}}}

音程

两个以整数振动比率相互关联的音调被感知为和谐的。在基音和八度音程的情况下，这一点尤其明显，其中频率比率分别为 1:1 和 1:2。这两个整数越大，感知到的和谐度和因此的谐波感知的效果越小。对于训练有素的耳朵来说，这种效果在纯五度音程（频率比率 2:3）和纯四度音程（频率比率 3:4）中仍然可以很好地听到。没有固定音高的乐器，如弦乐或长号，以及声乐合奏，也可以纯净地演奏大三度和小三度（频率比率 4:5 和 5:6）或小六度和大六度（频率比率 5:8 和 3:5）。特别是在大三和弦和小三和弦的情况下，它们是由三个音符组成，相隔一个大三度、小三度或五度，使用纯音程会产生特别和谐的声音。

下表显示了纯音调中从基音到八度音程的音乐音程的频率比率，以及与毕达哥拉斯音调中的四度、五度和八度音程的关系。

音程	频率比平均律	频率比毕达哥拉斯音调（十进制值）	频率比在平均律中（十进制值）	毕达哥拉斯音调与平均律之间的偏差平均律以音分计
基音	1:1	1.0000	1.0000	0
小二度	15:16	0.9375	0.9439	12
大二度	8:9	0.8889	0.8909	4
小三度	5:6	0.8333	0.8409	16
大三度	4:5	0.8000	0.7937	-14
四度	3:4	0.7500	0.7492	-2
三全音	25:36	0.6944	0.7071	31
五度	2:3	0.6667	0.6674	2
小六度	5:8	0.6250	0.6300	14
大六度	3:5	0.6000	0.5946	-16
小七度	9:16	0.5625	0.5612	-4
大七度	8:15	0.5333	0.5297	-12
八度	1:2	0.5000	0.5000	0

因此，三全音是四度音程和五度音程之间的音程。您可以在没有听到这个双音的情况下，从 25:36 的大数值比率中读出：一个不和谐的声音。在平均律中，这两个音调具有以下无理频率比率（也不是一个悦耳的声音）

2^{-{\frac {6}{12}}}=2^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}

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最后一列中以音分为单位的正偏差意味着纯音调的音高高于平均律的音调，负偏差意味着纯音调的音高低于平均律的音调。

值得注意的是，在上表中给出的全部整数比率中，在只有一位数字的数字中，只有 7 没有出现，这突出了它在一些中世纪作者看来是一个特殊的数字。

下表比较了相应的音乐纯音程与巴尔末系中的频率比率。

音程	频率比在毕达哥拉斯音调中	频率比在巴尔末系中	巴尔末系和毕达哥拉斯音调中频率比率的比率	毕达哥拉斯音调与巴尔末系和平均律以百分比计	毕达哥拉斯音调与巴尔末系和平均律以音分计
基音	1:1	1:1	1:1	0	0
四度	3:4	20:27	80:81	-1.6	-20
五度	2:3	125:189	375:378	-1.3	-16
小六度	5:8	5:8	1:1	0	0
大六度	3:5	49:81	245:243	0.8	14

巴尔末系音调在单弦琴上的位置。上方是氢原子的五条谱线及其巴尔末公式系数的光谱。下方是单弦琴，具有五条相应的弦长，所有弦具有相同的张力和厚度，通过缩短弦长，波长更短，因此频率更高。常数 $A$ 来自巴尔末公式，代表 $m=\infty$ 的波长。

最后，一个表比较了巴尔末系中相应的音乐音程与平均律中的频率比率。

音程	频率比巴尔末系	频率比在平均律中	毕达哥拉斯音调与巴尔末系和平均律以百分比计	毕达哥拉斯音调与巴尔末系和平均律以音分计
基音	1:1	1.0000	0.0	0
四度	20:27	0.7492	-1.1	20
五度	125:189	0.6674	0.9	16
小六度	5:8	0.6300	0.8	14
大六度	49:81	0.5946	-1.7	-30

巴尔末系音符在吉他指板上的位置。上方是氢原子的五条谱线，具有相应的波长比率的光谱。下方是吉他的指板，具有平均律中半音音阶的品格。提尔·欧伦斯比格的主题可以在所有六根弦上以不同的音高演奏。

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汉斯·索默

作曲家兼自然科学家汉斯·索默可能是通过光学物理巴尔末系的声学音乐变体将这些事实传达给了理查德·施特劳斯。不难理解他非常了解光学和物理学方面的发现。

汉斯·索默，被称作汉斯·索默的 **奥托·古斯塔夫·津肯** (* 1809 年；† 1940 年) 的儿子，实际上叫做 **汉斯·弗里德里希·奥古斯特·津肯**。奥托·古斯塔夫·津肯的父亲是布伦瑞克公国法院医师 **尤利乌斯·利奥波德·西奥多·弗里德里希·津肯** (* 1770 年；† 1856 年)，他又是司法官 **卡尔·弗里德里希·威廉·津肯** (* 1729 年；† 1806 年) 和他的妻子 **索菲·施莱格** 的儿子。这段婚姻已经离婚，双方都再婚了。索菲·施莱格于 1782 年嫁给了 **约翰·克里斯托夫·索默** (* 1741 年；† 1802 年)，他是布伦瑞克解剖外科研究所的法院顾问和解剖学教授，他的姓氏从此被她的津肯家族后代使用。

汉斯·索默的父亲在他两岁半时去世。他的寡母 **南尼·朗根海姆** (* 1813 年；† 1902 年) 于 1845 年嫁给了企业家、光学家和摄影先驱 **彼得·威廉·弗里德里希·冯·福格特兰德** (* 1812 年；† 1878 年)。他的父亲是光学家 **约翰·弗里德里希·福格特兰德** (* 1779 年；† 1859 年)，他自 1808 年起经营着 **J. F. 福格特兰德，光学和精密机械仪器工作室** 公司，并且是光学家兼发明家 **约翰·克里斯托夫·福格特兰德** (* 1732 年；† 1797 年) 的后代。

汉斯和安东妮·索默育有两个儿子，奥托和理查德。

汉斯·索默受过数学家训练，他还在哥廷根师从物理学家 **威廉·爱德华·韦伯** (* 1804 年；† 1891 年)。早在 1866 年，他就成为布伦瑞克理工学院 **卡罗琳学院** 的数学教授。12 年后，他被任命为校长，他参与了该学院迁入 **公爵卡罗尔·威廉·技术学院**，现在是布伦瑞克工业大学。他一直在布伦瑞克进行研究，直到 1884 年，特别是在应用光学领域。

作为应用光学领域的先驱之一，他还帮助他的继父彼得·威廉·弗里德里希·冯·福格特兰德，他与他的父亲约翰·弗里德里希·福格特兰德一起，从 1849 年起作为企业家在布伦瑞克经营着 **福格特兰德父子** 光学工作室。^[10]。

1858 年，汉斯·索默在哥廷根发表了他的就职论文，以获得哲学博士学位，论文题目为 **《关于折射率的测定》**。在这篇论文中，他还详细讨论了棱镜的折射，借助棱镜，可以将白光按光谱分解，以便识别和测量谱线，例如。^[11]。

1870 年，汉斯·索默在布伦瑞克出版了一本名为 **《关于透镜系统的屈光学》** 的书籍，其中他也讨论了折射效应。^[12]

汉斯·索默和理查德·施特劳斯于 1903 年共同创办了 **音乐表演权机构** (AFMA)，被认为是后来 **音乐表演和机械复制权协会** (GEMA) 的第一个前身组织。

2019 年，理查德·施特劳斯和汉斯·索默之间的信件以书籍的形式出版。^[13]

结语

如果没有19世纪的众多研究成果和重大发现，量子理论的发展将非常困难。如果没有对量子力学的更深入理解，可能就不会有半导体，而半导体今天几乎存在于每个家庭。明确地谈到光发射，应该注意到，通过对半导体中许多不同离散能级的了解，今天可以生产出发出单色光的发光二极管，它们在从红外到紫外的宽光谱范围内几乎可以发出任何波长的光。如今，发光二极管作为节能光源被应用于照明技术以及几乎所有屏幕中。

到目前为止，还没有关于这里提出的跨学科假设的任何书面资料，该假设认为光学物理巴尔末系的整数比可能激发了向声学音乐主题的转变。然而，这个故事是由一代代物理学家口头流传下来的。本文作者在20世纪80年代中期，在柏林工业大学格尔德·科普尔曼教授（* 1929年9月5日；† 1992年9月21日）的课程中听到了这个故事。本文作者感谢他的博士生导师海因茨·尼德里希教授对他的同事格尔德·科普尔曼的精彩而翔实的讣告。^[14]

Einzelnachweise

↑ 另见：汉斯·索默致理查德·施特劳斯的信件，魏玛，1893年4月14日，收录于克里斯蒂安·科斯特（编辑）：与汉斯·索默、赫尔曼·巴尔和维利·莱文的信件，施特劳斯音乐出版社，2020年，ISBN 9783795718060
↑ 约翰·雅各布·巴尔末：关于氢光谱线的一则笔记，发表于：巴塞尔自然科学协会的论文集，第7卷，第548至560页，H. 格奥尔格出版社，1884年
↑ 安德斯·乔纳斯·埃格斯特朗：论太阳光谱中的夫琅和费线，物理学年鉴，第193卷，第10期，1862年，第290至302页
↑ 提尔·乌连斯皮格尔的滑稽把戏，作品第28号，经典探险
↑ 例如，在“康复者”部分开头，首先是大提琴、低音提琴和大号以marcato的指示演奏，然后是圆号和中提琴，最后是双簧管和第二小提琴。
↑ 来自：理查德·施特劳斯 1942年10月7日从瑞士苏黎世附近的巴登维雷纳霍夫-奥克斯酒店寄出的信件
↑ 切尔尼，卡尔<1791-1857>，C大调练习曲，国际音乐资料索引（RISM）
↑ 匿名，C大调兰德勒，国际音乐资料索引（RISM）
↑ 沃尔夫冈·泡利：从新的量子力学角度看氢光谱，物理学杂志，第36卷，第5期，1926年3月27日，第336至665页，尤利乌斯·斯普林格，柏林
↑ 伯恩哈德·布劳内克和雷因马尔·瓦格纳：汉斯·津克-索默（1837-1922）/物理学家和作曲家，音乐与戏剧杂志，2012年9月，瑞士物理学会
↑ 汉斯·索默：关于折射率的确定，谷歌图书
↑ 汉斯·索默：关于透镜系统的屈光学研究，谷歌图书
↑ 克里斯蒂安·科斯特：理查德·施特劳斯与汉斯·索默、赫尔曼·巴尔和维利·莱文的书信往来，第23至178页，施特劳斯出版社，美因茨，2019年
↑ 海因茨·尼德里希：纪念格尔德·科普尔曼，物理学通讯，第48卷，1992年，第12期

项目摘要

目标受众：音乐家和自然科学家
学习目标：光和声音频率的数字比率。
图书赞助/联络人：User:Bautsch
目前是否需要合著者？是的，非常需要。可以直接在文本中更正明显的错误；内容请通过讨论进行。
合著者指南：类似维基百科。

[1] 另见：汉斯·索默致理查德·施特劳斯的信件，魏玛，1893年4月14日，收录于克里斯蒂安·科斯特（编辑）：与汉斯·索默、赫尔曼·巴尔和维利·莱文的信件，施特劳斯音乐出版社，2020年，ISBN 9783795718060

[2] 约翰·雅各布·巴尔末：关于氢光谱线的一则笔记，发表于：巴塞尔自然科学协会的论文集，第7卷，第548至560页，H. 格奥尔格出版社，1884年

[3] 安德斯·乔纳斯·埃格斯特朗：论太阳光谱中的夫琅和费线，物理学年鉴，第193卷，第10期，1862年，第290至302页

[4] 提尔·乌连斯皮格尔的滑稽把戏，作品第28号，经典探险

[5] 例如，在“康复者”部分开头，首先是大提琴、低音提琴和大号以marcato的指示演奏，然后是圆号和中提琴，最后是双簧管和第二小提琴。

[6] 来自：理查德·施特劳斯 1942年10月7日从瑞士苏黎世附近的巴登维雷纳霍夫-奥克斯酒店寄出的信件

[7] 切尔尼，卡尔<1791-1857>，C大调练习曲，国际音乐资料索引（RISM）

[8] 匿名，C大调兰德勒，国际音乐资料索引（RISM）

[9] 沃尔夫冈·泡利：从新的量子力学角度看氢光谱，物理学杂志，第36卷，第5期，1926年3月27日，第336至665页，尤利乌斯·斯普林格，柏林

[10] 伯恩哈德·布劳内克和雷因马尔·瓦格纳：汉斯·津克-索默（1837-1922）/物理学家和作曲家，音乐与戏剧杂志，2012年9月，瑞士物理学会

[11] 汉斯·索默：关于折射率的确定，谷歌图书

[12] 汉斯·索默：关于透镜系统的屈光学研究，谷歌图书

[13] 克里斯蒂安·科斯特：理查德·施特劳斯与汉斯·索默、赫尔曼·巴尔和维利·莱文的书信往来，第23至178页，施特劳斯出版社，美因茨，2019年

[14] 海因茨·尼德里希：纪念格尔德·科普尔曼，物理学通讯，第48卷，1992年，第12期

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简介