数学永恒定理/多项式因式定理

多项式因式定理是一个将多项式的因式和零点联系起来的定理。^[1]它是多项式余数定理的应用。它指出，一个多项式$f(x)$有一个因式$(x-a)$当且仅当$f(a)=0$。这里，$a$也称为多项式的根。^[2]

证明

陈述

如果$P(x)$是一个正次的多项式，并且如果$P(a)=0$，那么$(x-a)$是$P(x)$的因式。

证明

根据多项式余数定理，$P(x)$除以$(x-a)$的余数等于$P(a)$。由于$P(a)=0$，所以多项式$P(a)$可以被$(x-a)$整除

∴ $(x-a)$是$P(x)$的因式。[证明完毕]

因式定理的逆定理

命题： 如果 $(x-a)$ 是多项式 $P(x),$ 的一个因式，则 $P(a)=0$

因式分解

示例 1

问题： 将多项式 $P(x)=18x^{3}+15x^{2}-x-2$ 分解成因式。

解： 这里，$P(x)$ 的常数项是 $-2$，$-2$ 的因式集合为 $F$₁$=${±1, ±2}

这里，$P(x)$ 的首项系数是 $18$，$18$ 的因式集合为 $F$₂$=${±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}

现在考虑 $P(a)$，其中 $a={\frac {r}{s}},r\in F$₁$,s\in F$₂

当：

$a=1,P(1)=18+15-1-2\neq 0$

$a=-1,P(-1)=-18+15+1-2\neq 0$

$a=-{\frac {1}{2}},P(-{\frac {1}{2}})=18(-{\frac {1}{8}})+15(-{\frac {1}{4}})+{\frac {1}{2}}-2=0$

因此，$(x+{\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}(2x+1)$ 是 $P(x)$ 的一个因式。

现在，$P(x)=18x^{3}+15x^{2}-x-2$ $=18x^{3}+9x^{2}+6x^{2}+3x-4x-2$ $=9x^{2}(2x+1)+3x(2x+1)-2(2x+1)$ $=(2x+1)(9x^{2}+3x-2)$ $=(2x+1)(9x^{2}+6x-3x-2)$ $=(2x+1)(3x(3x+2)-1(3x+2))$ $=(2x+1)(3x+2)(3x-1)$

∴$P(x)=(2x+1)(3x+2)(3x-1)$

例 2

问题 : 将多项式 $P(x)=-3x^{2}-2xy+8y^{2}+11x-8y-6$ 分解成因式。

解： 仅考虑 $x$ 和常数项，我们得到 $-3x^{2}+11x-6$.

$-3x^{2}+11x-6\equiv (-3x+2)(x-3)..(i)$

同理，只考虑$y$ 和常数项，我们得到 $8y^{2}-8y-6$.

$8y^{2}-8y-6\equiv (4y+2)(2y-3)..(ii)$

结合以上 (i) 和 (ii) 的因式，可以找到给定多项式的因式。但常数项 $+2,-3$ 必须在两个等式中保持一致，就像 $x$ 和 $y$ 的系数一样。

∴$P(x)=(-3x+4y+2)(x+2y-3)$