抽象代数/域论主题

基本定义

令 $L/k$ 为一个域扩张; 即, $k$ 是域 $L$ 的一个子域. 那么 $L$ 具有一个 k-代数结构; 特别地, 一个向量空间结构. 一个 超越元素 是一个非整元素; 换句话说, $x$ 关于 $k$ 是 超越的 当且仅当 $k[x]$ 是 (同构于) 单个变量的多项式环. 这种情况可以更抽象地描述如下. 给定一个元素 x 在一个扩张 $L/k$ 中, 以及一个不定元 $t$ , 我们有如下精确序列

0\to {\mathfrak {p}}\to k[t]\to k[x]\to 0

通过令 $x\mapsto t$ 以及 ${\mathfrak {p}}$ 为该映射的核。因此， $x$ 在 $k$ 上是超越的当且仅当 ${\mathfrak {p}}=0$ 。由于 $k[t]$ 是一个 PID，当不为零时， ${\mathfrak {p}}$ 由一个非零多项式生成，称为 $x$ 的最小多项式，它必须是不可约的，因为 $k[x]$ 是一个整环，因此 ${\mathfrak {p}}$ 是素的。（注意，如果我们用 $k[t,s]$ 代替 $k[t]$ ，则它不再是 PID；因此核不再是主理想。因此，一般来说，如果一个子集 $S\subset L$ 满足 $k[S]$ 是一个多项式环，其中 $S$ 的元素是变量，则称 $S$ 是代数无关的；按照惯例，空集是代数无关的，正如它是线性无关的一样。）最后，按照惯例，我们将积分域扩张称为代数扩张。

当 $L$ 在 $k$ 上的维数是有限的，则该扩张称为*有限扩张*。每个有限扩张都是代数的。事实上，如果 $x\in L$ 在 $k$ 上是超越的，那么 $k[x]$ 是一个*多项式环*，因此是 $L$ 的无限维子空间，并且*L* 也必须是无限维的。

练习。

如果一个复数在

\mathbf {Q}

上是整的，则称为代数数。所有代数数的集合是可数的。

如果一个域不存在非平凡的代数域扩张，则称为*代数闭域*。（一个域始终是其自身的代数扩张，这是一个平凡的扩张。）更具体地说，如果一个多项式在该域上的所有根都在该域中，则该域是代数闭域。从选择公理（实际上等价于选择公理）可以得出，每个域都是某个代数闭域的子域。

可分扩张

如果一个域扩张 $L/k$ 作为*k*-代数是可分的，则称该扩张是可分的；即，对于所有域扩张 $E/k$ ， $L\otimes _{k}F$ 是约化的。下面的定理确保这等价于经典定义。

定理。

如果一个域

L

在

k

上是可分的代数的，当且仅当每个不可约多项式都具有不同的根（即，

f

及其导数

f'

没有公共根。）

在本节的剩余部分， $p$ 表示域的特征指数；（即，如果 $\operatorname {char} (k)=0$ 则 $p=1$ ，否则 $p=\operatorname {char} (k)$ 。）如果注入

x\mapsto x^{p}:k\to k

实际上是满射（因此是自同构），则该域称为 *完美域*。例如：特征为零的域和有限域是完美的。因此，不完美的域相当罕见；它们出现在代数几何中，这是一个在后面的章节中讨论的主题。我们让 $k_{p}$ 是 $k$ 与 $p^{e}$ 次根的并集（对于所有正整数 $e$ ）在 $k$ 中。 $k_{p}$ 然后被称为 *完美闭包*，因为没有严格小于 $k_{p}$ 的子域是完美的。

命题。

k

代数

A

是可分的当且仅当

A\otimes _{k}k_{p}

是约化的。

命题。

以下条件等价。

(i) 一个域是完美的。
(ii) 每个有限扩张都是可分的。
(iii) 每个扩张都是可分的。

证明。 假设 (ii) 为假；那么必须有 $p>1$ 并且。最后，如果 (iii) 为假，那么存在一个扩张 $L/k$ 使得 $L\otimes _{k}k_{p}$ 不是约化的。由于 $k_{p}$ 在 $k$ 上是代数的，它有一个有限扩张 $F$ 使得 $L\otimes _{k}F$ 不是约化的。这个 $F$ 使 (ii) 为假。 $\square$

特别是，完美域的任何扩张都是完美的。

可分扩张

令 $L/K$ 为域扩张， $p$ 为 $K$ 的特征指数（即， $p=1$ 如果 $K$ 的特征为零；否则， $p=\operatorname {char} k$ 。） $L$ 称为在 $K$ 上是 *可分的*，如果 $L\otimes _{K}K^{p^{-1}}$ 是一个整环。一个极大的可分扩张 $k$ 称为 *可分闭包*，记为 $k_{s}$ 。

如果一个域的可分闭包是代数封闭的，则称该域是 *完备的*。如果一个域等于它的可分闭包，则称该域是 *纯不可分的*。（读者会注意到，到目前为止的术语相当混乱；但这已经成为历史。）

引理。

一个代数扩张是可分的当且仅当任何元素的极小多项式没有重根。

证明。我们可以假设这个扩张是有限的。 $\square$

命题。

一个域是完备的当且仅当（i）它的特征为零或（ii）

x\mapsto x^{p}

是

K

的一个自同构。

证明。 首先假设 $p=0$ 。令 $f$ 为一个不可约多项式。如果 $f$ 和 $f'$ 有一个共同的根，那么，由于 $f$ 是不可约的， $f$ 必须整除 $f'$ ，因此 $f'=0$ ，因为 $\deg f'<\deg f$ 。另一方面，如果 $f(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n}t^{n}$ ，那么

f'(t)=a_{1}+2a_{2}t+...+na_{n}t^{n-1}\neq 0

.

因此，特征为 p 的域是完备的。 $\square$

推论。

有限域是完备的。

命题。

令

L/K

为一个有限扩张。那么

L

关于

K

是可分的，当且仅当

L

关于

F

是可分的，并且

F

关于

K

是可分的。

命题。

每个有限域扩张都可以分解为一个可分扩张和一个纯不可分扩张。更准确地说，

练习。

(克拉克 p. 33) 令

k

为特征为 2 的域，

F=k(x,y)

，

u\in F

为

t^{2}+t+x

的根，

S=F(u)

且

K=S({\sqrt {uy}})

。则 (i)

K/S

是纯不可分的，且

S/F

是可分的。(ii) K/F 没有非平凡的纯不可分子扩域。

定理 (本原元)。

令

L=K[x_{1},...,x_{n}]

是一个有限扩张，其中

x_{2},...,x_{n}

（但不一定是

x_{1}

）在

K

上是可分的。则

L=K[z]

对于某个

z\in L

成立。

证明。只需证明 $n=2$ 的情况（TODO: 为什么？）。令 $\mu _{i}$ 是 $x_{i}$ 的极小多项式。 $\square$

定理。

令

L/K

是一个有限生成的域扩张。则以下等价。

$L$ 在 $K$ 上是可分的。
$L$ 在 $K$ 上有一个分离超越基。
$L\otimes _{K}K^{p^{-r}}$ 是一个整环。

超越扩张

定理 (未定义：Lüroth) (Lüroth)。

任何

F(X)

的子域

E

，它包含

F

但不等于

F

，是

F

的纯粹超越扩张。

令 $L\supset K$ 是一个度数为 $n<\infty$ 的域扩张。一个元素 $x\in L$ 定义一个 $K$ -线性映射

x_{L}:L\to L,y\mapsto xy

.

我们定义

$\operatorname {Tr} _{L/K}(x)=\operatorname {Tr} (x_{L}).$
$\operatorname {Nm} _{L/K}(x)=\operatorname {det} (x_{L}).$

命题。

令

L\supset K\supset F

是有限域扩张。那么

(i) $\operatorname {Tr} _{L/F}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{K/F}.$
(ii) $\operatorname {Nm} _{L/F}=\operatorname {Nm} _{L/K}\circ \operatorname {Nm} _{K/F}.$

定理 A.8 (希尔伯特 90).

如果

L/K

是一个有限的伽罗瓦扩张，则

\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (L/K),L^{\times })=0

.

推论。

令

L/K

是一个循环扩张，且

\sigma

生成

\operatorname {Gal} (L/K)

。如果

a\in L

使得

\operatorname {Nm} _{L/K}(a)=1

，则

a={\sigma (b) \over b}

对于某个

b

成立。

A. 定理 一个域扩张 $L/K$ 是代数的当且仅当它是其有限子扩张的直接极限。

一个域扩张 $K/F$ 被称为伽罗瓦扩张，如果

K^{\operatorname {Aut} (K/F)}=F.

这里，我们使用的不变性符号是

K^{G}=\{x\in K|\sigma (x)=x,\forall \sigma \in G\}

(特别地，当 $K/F$ 是一个有限扩张时， $K/F$ 是一个伽罗瓦扩张当且仅当 $|\operatorname {Aut} (K/F)|=[K:F]$ .) 当 $K/F$ 是伽罗瓦时，我们设 $\operatorname {Gal} (K/F)=\operatorname {Aut} (K/F)$ ，并称 $\operatorname {Gal} (K/F)$ 为 $K/F$ 的伽罗瓦群。

A. 定理 一个域扩张 $K/F$ 是伽罗瓦扩张当且仅当它是正规的且可分的。

整闭域

如果一个整环 $A$ 等于它在分式域中的整闭包，则称该整环为整闭域。

命题。

GCD 域和赋值域是整闭域。

证明。假设 $r/s$ 关于 $A$ 是整的；即，

(r/s)^{n}+a_{n-1}(r/s)^{n-1}+...+a_{1}(r/s)+a_{0}=0

.

我们可以假设 $(r,s)=1$ 。由此得到

r^{n}=-a_{n-1}rs+...+a_{1}rs^{n-1}+a_{0}s^{n}

.

因此 $s|r^{n}$ 。由于根据引理 A.8， $(r^{n},s)=1$ ，我们有 $s$ 是 $A$ 中的单位元，因此 $r/s\in A$ 。赋值域的情况非常相似。 $\square$

命题。

"整闭" 是一个局部性质。

命题。

设

A

是一个整环。以下等价。

投影 $A$ -模的每个有限生成子模都是投影的。
$A$ 的每个有限生成非零理想都是可逆的。
对于每个素理想 ${\mathfrak {p}}\triangleleft A$ ， $A_{\mathfrak {p}}$ 是赋值域。
$A$ 的每个超环都是 $A$ 的局部化的交集。
$A$ 的每个超环都是整闭的。

满足命题中任何/所有等价条件的整环称为Prüfer 环。Noether Prüfer 环称为Dedekind 环。

命题 A.10。

设

A

为一个整闭整环，且

L

为

A_{(0)}

的一个有限扩张。则

x\in L

关于

A

是整的当且仅当它在

K[X]

中的极小多项式属于

A[X]

。

一个 *戴德金整环* 是一个它的真理想可以分解成素理想乘积的整环。

A. 定理 任何既是戴德金整环又是唯一分解整环的环都是主理想整环。
证明：设 ${\mathfrak {p}}$ 为一个素理想。我们可以假设 ${\mathfrak {p}}$ 是非零的；因此，它包含一个非零元素 $x$ 。我们可以假设 $x$ 是不可约的；因此，根据唯一分解性，它是素的。如果 ${\mathfrak {p}}$ 是素理想，那么我们有 $(x)={\mathfrak {p}}$ 。因此，每个素理想都是主理想。 $\square$

定理设 A 为一个整环。则 A 是戴德金整环当且仅当：

(i) A 是整闭的。
(ii) A 是诺特环，且
(iii) 每个素理想都是极大理想。

A. 定理 设 A 为一个戴德金整环，其分数域为 K。设 L 为 K 的一个有限度数域扩张，并用 S 表示 R 在 L 中的整闭包。则 S 本身也是一个戴德金整环。

A 引理 设 $A$ 为一个整环。则 $A$ 是戴德金整环当且仅当 $A$ 的每个局部化都是离散赋值环。

引理 设 $A$ 为一个诺特环。则每个理想包含一个非零素理想的乘积。
Proof: Let $S$ be the set of all ideals that do not contain a product of nonzero prime ideals. If the lemma is false, $S$ is nonempty. Since $A$ is noetherian, $S$ has a maximal element ${\mathfrak {i}}$ . Note that ${\mathfrak {i}}$ is not prime; thus, there are $a,b$ such that $ab\in {\mathfrak {i}}$ but $a\not \in {\mathfrak {a}}$ and $b\not \in {\mathfrak {i}}$ . Now, $({\mathfrak {i}}+(a))({\mathfrak {i}}+(b))\subset {\mathfrak {i}}$ . Since both ${\mathfrak {i}}+(a)$ and ${\mathfrak {i}}+(b)$ are strictly larger than ${\mathfrak {i}}$ , which is maximal in $S$ , ${\mathfrak {i}}+(a)$ and ${\mathfrak {i}}+(b)$ are both not in $S$ and both contain products of prime ideals. Hence, ${\mathfrak {i}}$ contains a product of prime ideals. $\square$