抽象代数/李代数主题

设 $V$ 为向量空间。 $(V,[,])$ 称为李代数，如果它配备了双线性算子 $V\times V\to V$，记为 $[,]$，满足以下性质：对于所有 $x,y,z\in V$

• (i) [x, x] = 0
• (ii) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

(ii) 称为雅可比恒等式。

示例：对于 $x,y\in \mathbf {R} ^{3}$，定义 $[x,y]=x\times y$，即 $x$ 和 $y$ 的叉积。叉积的已知性质表明 $(R^{3},[,])$ 是李代数。

示例：设 $\operatorname {Der} (V)=\{D\in \operatorname {Ext} (V):D(xy)=(Dx)y+xDy\}$。 $\operatorname {Der} (V)$ 的元素称为导数。定义 $[x,y]=xy-yx$。然后 $[x,y]\in \operatorname {Der} (V)$。

定理 设 $V$ 为有限维向量空间。

• (i) 如果 ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{k}(V)$ 是一个由幂零元素组成的李代数，则存在 $v\in V$ 使得 $x(v)=0$ 对每个 $x\in {\mathfrak {g}}$ 成立。
• (ii) 如果 ${\mathfrak {g}}$ 是可解的，则存在一个共同的特征值 $v\in V$。

定理 (Engel) ${\mathfrak {g}}$ 是幂零的当且仅当 $\operatorname {ad} (x)$ 对每个 $x\in {\mathfrak {g}}$ 都是幂零的。
证明：直接部分是清楚的。对于反方向，注意到根据前面的定理，$\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ 是 ${\mathfrak {n}}_{k}$ 的子代数。因此，$\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ 是幂零的，所以 ${\mathfrak {g}}$ 也是幂零的。 $\square$

定理 ${\mathfrak {g}}$ 是可解的当且仅当 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 是幂零的。
证明：假设 ${\mathfrak {g}}$ 是可解的。那么 $\operatorname {ad} [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 是 ${\mathfrak {b}}_{k}$ 的一个子代数。因此，$\operatorname {ad} [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\subset {\mathfrak {n}}_{k}$。因此，$\operatorname {ad} [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 是幂零的，因此 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 是幂零的。反之，注意到以下精确序列：

$0\longrightarrow [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\longrightarrow {\mathfrak {g}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}/{[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}\longrightarrow 0$

由于 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 和 ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 都是可解的，${\mathfrak {g}}$ 是可解的。 $\square$

3 定理（外尔定理） 有限维半单李代数的每一个表示：

${\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)$

是完全可约的。
Proof: It suffices to prove that every ${\mathfrak {g}}$-submodule has a ${\mathfrak {g}}$-submodule complement. Furthermore, the proof reduces to the case when $W$ is simple (as a module) and has codimension one. Indeed, given a ${\mathfrak {g}}$-submodule $W$, let $E\subset \operatorname {Hom} (V,W)$ be the subspace consisting of elements $f$ such that $f|_{W}$ is a scalar multiplication. Since any commutator of elements $f\in E$ is zero (that is, multiplication by zero), it is clear that $E/[E,E]$ has dimension 1. $E$ may not be simple, but by induction on the dimension of $E$, we can assume that. Hence, $E$ has complement of dimension 1, which is spanned by, say, $f$. It follows that $V$ is the direct sum of $W$ and the kernel of $f$. Now, to complete the proof, let $W$ be a simple ${\mathfrak {g}}$-submodule of codimension 1. Let $c$ be a Casimir element of ${\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)$. It follows that $V$ is the direct sum of $W$ and the kernel of $c$. $\square$ (TODO: obviously, the proof is very sketchy; we need more details.)

参考文献

• 代数群和算术群