抽象代数/层论主题

层论

我们说 ${\mathcal {F}}$ 是拓扑空间 $X$ 上的预层，如果

• (i) ${\mathcal {F}}(U)$ 是每个开子集 $U\subset X$ 的阿贝尔群
• (ii) 对于每个包含关系 $U\hookrightarrow V$，我们有群态射 $\rho _{V,U}:{\mathcal {F}}(V)\to {\mathcal {F}}(U)$ 使得

  $\rho _{U,U}$ 是恒等式，并且 $\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}$ 对于任何包含关系 $U\hookrightarrow V\hookrightarrow W$

如果满足以下“粘合公理”，则预层称为层

对于每个开子集 $U$ 及其开覆盖 $U_{j}$，如果 $f_{j}\in {\mathcal {F}}(U_{j})$ 满足 $f_{j}=f_{k}$ 在 $U_{j}\cap U_{k}$ 上，则存在一个唯一的 $f\in {\mathcal {F}}(U)$ 使得 $f|_{U_{j}}=f_{j}$ 对于所有的 $j$ 都成立。

请注意，唯一性意味着如果 $f,g\in {\mathcal {F}}(U)$ 并且 $f|_{U_{j}}=g|_{U_{j}}$ 对于所有的 $j$ 都成立，则 $f=g$。特别是，$f|_{U_{j}}=0$ 对于所有的 $j$ 都成立，意味着 $f=0$。

4 例子：设 $G$ 为一个拓扑群（例如，$\mathbf {R}$）。设 ${\mathcal {F}}(U)$ 是从开子集 $U\subset X$ 到 $G$ 的所有连续映射的集合。那么 ${\mathcal {F}}$ 构成一个层。特别地，假设 $G$ 的拓扑是离散的。那么 ${\mathcal {F}}$ 被称为常数层。

给定层 ${\mathcal {F}}$ 和 ${\mathcal {G}}$，一个层态射 $\phi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$ 是群态射的集合 $\phi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)$，满足：对于每一个开子集 $U\subset V$，

$\phi _{U}\circ \rho _{V,U}=\rho _{V,U}\circ \phi _{V}$

其中第一个 $\rho _{V,U}$ 是来自 ${\mathcal {F}}$ 的，第二个 ${\mathcal {G}}$。

对于每个开子集 $U$，定义 $(\operatorname {ker} \phi )(U)=\operatorname {ker} \phi _{U}$。 $\operatorname {ker} \phi$ 因此是一个层。事实上，假设 $f_{j}\in \operatorname {ker} \phi _{U_{j}}$。那么存在 $f\in {\mathcal {F}}(U)$ 使得 $f|_{U_{j}}=f_{j}$。但是，由于

$(\phi _{U}f)|_{U_{j}}=\phi _{U_{j}}(f|_{U_{j}})=\phi _{U_{j}}f_{j}=0$

对于所有 $j$，我们有 $\phi _{U}f=0$。不幸的是，$\operatorname {im} \phi$ 如果以相同的方式定义，它不会成为一个层。因此，我们定义 $(\operatorname {im} \phi )(U)$ 为所有 $f\in {\mathcal {G}}(U)$ 的集合，使得存在 $U_{j}$ 的开覆盖 $U$，使得 $f|_{U_{j}}$ 在 $\phi _{U_{j}}$ 的像中。这是一个层。事实上，与之前一样，设 $f\in {\mathcal {G}}(U)$ 使得 $f|_{U_{j}}\in \operatorname {im} \phi _{U_{j}}$。那么我们有 $U$ 的开覆盖，使得 $f$ 限制在覆盖的每个成员 $V$ 上都在 $\phi _{V}$ 的像中。

设 ${\mathcal {F}}^{0},{\mathcal {F}}^{1},{\mathcal {F}}^{2}$ 是同一个拓扑空间上的层。

如果一个在 $X$ 上的层 ${\mathcal {F}}$ 满足 $\rho _{X,U}:{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(U)$ 是满射的，则称该层为松弛层。 令 ${\mathcal {F}}_{p}=\lim _{U\ni p}{\mathcal {F}}(U)$，对于每个 $f\in {\mathcal {F}}(U)$，定义 $\operatorname {supp} f=\{x\in U|f|_{p}\neq 0\}$。 $\operatorname {supp} f$ 是闭集，因为 $f|_{p}=0$ 意味着 $p$ 在 $U$ 中存在一个邻域，使得对于每个 $q\in U$ 有 $f|_{q}=0$。 定义 $\operatorname {Supp} {\mathcal {F}}=\{x\in X|{\mathcal {F}}_{x}\neq 0\}$。 特别地，如果 $i:Z\hookrightarrow X$ 是一个闭子集，并且 $\operatorname {Supp} {\mathcal {F}}\subset Z$，则自然映射 ${\mathcal {F}}\to i_{*}i^{-1}{\mathcal {F}}$ 是一个同构。

4 定理 假设

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}^{0}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{1}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{2}\longrightarrow 0$

是精确的。那么，对于任何开集 $U$

$0\longrightarrow \Gamma _{Z}(U,{\mathcal {F}}^{0})\longrightarrow \Gamma _{Z}(U,{\mathcal {F}}^{1})\longrightarrow \Gamma _{Z}(U,{\mathcal {F}}^{2})$

是精确的。此外，$\Gamma _{Z}(U,{\mathcal {F}}^{1})\to \Gamma _{Z}(U,{\mathcal {F}}^{2})$ 是满射的，如果 ${\mathcal {F}}^{0}$ 是软化的。
Proof: That the kernel of $\operatorname {ker} {\mathcal {F}}^{0}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{1}$ is trivial means that $\operatorname {ker} {\mathcal {F}}^{0}(U)\longrightarrow {\mathcal {F}}^{1}(U)$ has trivial kernel for any $U$. Thus the first map is clear. Next, denoting ${\mathcal {F}}^{1}\to {\mathcal {F}}^{2}$ by $d$, suppose $f\in {\mathcal {F}}^{1}(U)$ with $df=0$. Then there exists an open cover $U_{j}$ of $U$ and $u_{j}\in {\mathcal {F}}(U_{j})$ such that $du_{j}=f|_{U_{j}}$. Since $du_{j}=f=du_{k}$ in $U_{j}\cap U_{k}$ and $d_{U_{j}\cap U_{k}}$ is injective by the early part of the proof, we have $u_{j}=u_{k}$ in $U_{j}\cap U_{k}$ and so we get $u\in {\mathcal {F}}(U)$ such that $du=f$. Finally, to show that the last map is surjective, let $f\in {\mathcal {F}}^{2}(U)$, and $\Omega =\{(U,u)|du=f|_{U}\}$. If $\{(U_{j},u_{j})|j\in J\}\subset \Omega$ is totally ordered, then let $U=\cup _{j}U_{j}$. Since $u_{j}$ agree on overlaps by totally ordered-ness, there is $u\in {\mathcal {F}}(U)$ with $u|_{U_{j}}=u_{j}$. Thus, $(U,u)$ is an upper bound of the collection $(U_{j},u_{j})$. By Zorn's Lemma, we then find a maximal element $(U_{0},u_{0})$. We claim $U_{0}=U$. Suppose not. Then there exists $(U_{1},u_{1})$ with $du_{1}=f|_{U_{1}}$. Since $d(u_{0}-u_{1})=0$ in $U_{0}\cap U_{1}$, by the early part of the proof, there exists $a\in {\mathcal {F}}^{0}(U_{0}\cap U_{1})$ with $da=u_{0}-u_{1}$. Then $d(u_{1}+da)=du_{1}=f|_{U_{1}}$ (so $(U_{1},u_{1})\in \Omega$) while $u_{1}+da=u_{0}$ in $U_{0}\cap U_{1}$. This contradicts the maximality of $(U_{0},u_{0})$. Hence, we conclude $U_{0}=U$ and so $du_{0}=f$. $\square$

4 推论

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}^{0}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{1}\longrightarrow {\mathcal {F}}^{2}\longrightarrow 0$

是精确的当且仅当

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{p}^{0}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{p}^{1}\longrightarrow {\mathcal {F}}_{p}^{2}\longrightarrow 0$

对于每个 $p\in X$ 都是精确的。

假设 $f:X\to Y$ 是一个连续映射。层 $f_{*}{\mathcal {F}}$ （称为 ${\mathcal {F}}$ 的正向像，由 $f$ 推进）由 $f_{*}{\mathcal {F}}(U)={\mathcal {F}}(f^{-1}(U))$ 定义，其中 $U\subset Y$ 是一个开子集。假设 $f:Y\to X$ 是一个连续映射。层 $f^{-1}{\mathcal {F}}$ 然后由 $f^{-1}{\mathcal {F}}(U)=$ 预层的层化定义 $U\mapsto \varinjlim _{V\supset f(U)}{\mathcal {F}}(V)$，其中 $V$ 是 $X$ 的一个开子集。两者以如下方式相关。令 $U\subset X$ 为一个开子集。那么 $f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}(U)$ 由元素 $f$ 组成 ${\mathcal {F}}(f^{-1}(V))$，其中 $V\supset f(U)$。由于 $f^{-1}(V)\supset U$，我们找到一个映射

$f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}$

通过将 $f$ 映射到 $f|_{U}$ 来实现。该映射是定义良好的，因为它不依赖于 $V$ 的选择。