拓扑模/桶形空间

命题（从桶形 LCTVS 到 Hausdorff TVS 的连续线性函数的逐点极限是连续且线性的）:

令 $X$ 是在域 $\mathbb {K}$ 上的桶形 LCTVS，令 $Y$ 是在同一域上的局部闭 Hausdorff TVS，并假设给定一个线性连续函数的网 $T_{\lambda }:X\to Y$ ($\lambda \in \Lambda$)。进一步假设 $T:X\to Y$ 是一个函数，使得

$\lim _{\lambda \in \Lambda }T_{\lambda }(x)=T(x)$.

那么 $T$ 本身就是一个线性连续泛函。

证明：首先注意 $T$ 是线性的，因为无论何时 $\alpha \in \mathbb {K}$ 且 $v,w\in X$，我们有

$T(v+\alpha w)=\lim _{\lambda \in \Lambda }(T_{\lambda }(v)+\alpha T_{n}(w))=T(v)+\alpha T(w)$

由于 $Y$ 是一个 Hausdorff 空间，其中极限是明确定义的，并且由加法的连续性得出。然后注意到 $T$ 是连续的，因为对于所有 $v\in X$，集合 $\{T_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ 是有界的，因此 Banach—Steinhaus 定理 适用，并且族 $\{T_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ 是一致有界的。因此，假设 $V\subseteq Y$ 是原点的闭邻域。通过一致有界性，选择 $U\subseteq X$ 作为原点的开邻域，使得

$\forall \lambda \in \Lambda :T_{n}(U)\subseteq V$.

我们得出结论，$T(U)\subseteq V$，因为 闭集包含它们的所有网极限。我们得出结论，因为 $Y$ 是局部闭的，因此 $V$ 代表一个通用的邻域。$\Box$