一般拓扑/网

定义（网）:

令 $X$ 为一个拓扑空间，令 $(\Lambda ,\leq )$ 为一个有向集。网 是一个族 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$.

定义（网收敛）:

令 $X$ 为一个拓扑空间，令 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 为一个网（当然，$\Lambda ,\leq )$ 是一个有向集），令 $x\in X$。序列 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 被称为收敛 到 $x$ 当且仅当对于每个邻域 $M\in N(x)$ 存在 $\eta =\eta (M)\in \Lambda$ 使得对于所有 $\lambda \geq \eta$ 我们有 $x_{\lambda }\in M$。为此我们写 $\lim _{\lambda \in \Lambda }x_{\lambda }=x$.

就像滤子一样，网是序列的模拟，它们被用来将原本只对“良好”空间成立的定理推广到一般拓扑空间的设置中。缺点是，就像滤子一样，涉及网的定理通常使用选择公理。使用网还是滤子取决于个人喜好，以及选择在给定情况下使用最少选择公理的工具。

命题（闭包等价于包含所有网极限）:

设 $X$ 为一个拓扑空间。则集合 $A\subseteq X$ 是闭集当且仅当对于所有网 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 使得 $\forall \lambda \in \Lambda :x_{\lambda }\in A$ 且收敛到一点 $x\in X$，我们有 $x\in A$。

(在选择公理的条件下。)

Proof: Suppose first that $A$ is closed, and that $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ is a convergent net in $A$ to a limit $x$. Suppose $x\notin A$. Then for all $M\subseteq N(x)$, we find $\eta \in \Lambda$ so that at least $x_{\eta }\in M$, which implies that $M\cap A\neq \emptyset$, and $x\in \partial A$ since $x\in M$, $x\notin A$. Since a set is closed if and only if it contains its boundary, we conclude that $x\in A$, a contradiction. Suppose then that $A$ contains the limit of all its convergent nets. Then let $x\in \partial A$, and note that $N(x)$ is a directed set, ordered by inclusion. For each $M\in N(x)$, choose $x_{M}\in A\cap M$ by definition of $\partial A$, and observe that $(x_{M})_{M\in N(X)}$ forms a net convergent to $x$. Thus, $x\in A$, and since $x$ was arbitrary, $\partial A\subseteq A$ and $A$ is closed. $\Box$

命题（用网收敛刻画连续性）:

设 $X,Y$ 为拓扑空间， $f:X\to Y$ 为函数。则 $f$ 是连续的当且仅当对于所有在 $X$ 中收敛到某一点 $x_{\infty }\in X$ 的网 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$，网 $(f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$ 收敛到 $f(x_{\infty })$。

(在选择公理的条件下。)

证明： 首先假设 $f:X\to Y$ 是连续的，并假设 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 收敛于 $x_{\infty }\in X$。然后令 $V$ 为 $f(x_{\infty })$ 的任何开邻域，并设 $U:=f^{-1}(V)$，由于 $f$ 的连续性，它是开的。然后选取 $\mu \in \Lambda$ 使得对于所有 $\lambda \geq \mu$ 我们有 $x_{\lambda }\in U$；对于这样的 $\lambda$ 我们将有 $f(x_{\lambda })\in V$，根据原像的定义。

假设现在$f:X\to Y$ 具有这样的性质：如果$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 网收敛于$x_{\infty }$，那么$(f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$ 网收敛于$f(x_{\infty })$。然后假设$A\subseteq Y$ 是闭集。如果我们证明$f^{-1}(A)$ 是闭集，我们就证明了该定理。 我们只需要 证明$f^{-1}(A)$ 包含其所有网的极限。所以假设$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 是$f^{-1}(A)$ 中的一个网，它收敛于某个$x_{\infty }\in X$。那么$f(x_{\infty })\in A$，因此$x_{\infty }\in f^{-1}(A)$，所以$f^{-1}(A)$ 确实是闭集。 $\Box$

定义（子网）:

令 $X$ 为一个拓扑空间，$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 为其中的一个网。$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 的一个 **子网** 是一个网 $(y_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }$ ，以及一个 最终的 顺序同态 $f:\Sigma \to \Lambda$ 使得 $\forall \sigma \in \Sigma :x_{f(\sigma )}=x_{\sigma }$.

命题（紧致性等价于存在收敛子网）:

令 $X$ 为一个拓扑空间，令 $A\subseteq X$ 为一个子集。 $A$ 是紧致的当且仅当对于 $A$ 中的所有网 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$，都存在 $x\in A$ 和 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 的一个子网 $(y_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }$ 使得 $\lim _{\sigma \in \Sigma }y_{\sigma }=x$.

(在选择公理的条件下。)

Proof: Suppose first that $A$ is compact, and let $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ be a net in $A$. Suppose that $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ does not have a convergent subnet. Then for each $x\in A$, we find an open neighbourhood $U_{x}$ of $x$ and a $\lambda _{x}$ such that for all $\lambda \geq \lambda _{x}$, we have $x_{\lambda }\notin U_{x}$; for otherwise, if $x$ is a point so that for all open neighbourhoods $U_{x}$ and $\lambda \in \Lambda$ there exists $\mu \in \Lambda$ so that $x_{\mu }\in U_{x}$, then we note that the set of all $U_{x}$ (that is, the sets of all open neighbourhoods of $x$) forms a directed set when ordered inversely by inclusion (which shall henceforth be denoted by $\Gamma$). Note that we may take the product order on $\Lambda \times \Gamma$, and then we may define an order morphism $f:\Lambda \times \Gamma \to \Lambda$ by sending $(\lambda ,\gamma )\mapsto \lambda$. Consider the subset $S\subseteq \Lambda \times \Gamma$ so that $x_{\lambda }\in \gamma$. We define a subnet of $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ as thus: Define $(y_{(\lambda ,\gamma )})_{(\lambda ,\gamma )\in S}$ by $y_{(\lambda ,\gamma )}:=x_{\lambda }$, and the order morphism induced by $f$, which is final since for any $\lambda _{0}$, we find $\lambda \geq \lambda _{0}$ so that $x_{\lambda }\in \gamma _{0}$, when $(\lambda _{0},\gamma _{0})\in T$ is arbitrary. Now $(y_{(\lambda ,\gamma )})_{(\lambda ,\gamma )\in S}$ converges to $x$, a contradiction. But then we apply compactness to the $U_{x}$, so that we gain points $x_{1},\ldots ,x_{n}$ so that $U_{x_{1}}\cup \cdots \cup U_{x_{n}}$ covers $A$. Then we choose an upper bound $\lambda _{0}$ of $\lambda _{x_{1}},\ldots ,\lambda _{x_{n}}$ by successively choosing an upper bound of $\lambda _{1},\lambda _{2}$, then an upper bound of that upper bound and $\lambda _{3}$ and so on. Then for $\lambda \geq \lambda _{0}$, $x_{\lambda }$ is not contained in any of the $U_{x_{j}}$, so that in particular $x_{\lambda _{0}}\notin A$, a contradiction. Conversely, if every net contains a convergent subnet, let $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ be an open cover of $X$. Suppose that it doesn't admit any finite subcover, and consider the set of all finite subfamilies of $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ ordered by inclusion, which is a directed set. Then define a net indexed over that set by choosing, for each finite index set $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$, the element $x_{U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}}\in X\setminus (U_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup U_{\alpha _{n}})$. By assumption, upon defining $\Lambda$ to be the set of all finite subfamilies of $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$, we find that $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ has a convergent subnet $(y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$. Let $y$ be the point to which this subnet converges, and since $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ is a cover, pick $\alpha _{0}\in A$ so that $y\in U_{\alpha _{0}}$. Note that $(U_{\alpha _{0}})$ is a finite subfamily of $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$, so that by finality of the order homomorphism $f:\Gamma \to A$ we find $\gamma _{1}\in \Gamma$ so that $f(\gamma )$ contains $U_{\alpha _{0}}$. On the other hand, since $(y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$ converges to $y$, we find $\gamma _{2}\in \Gamma$ so that for $\gamma \geq \gamma _{2}$ we have $x_{\gamma }\in U_{\alpha _{0}}$. Finally, since $\Gamma$ is directed, let $\gamma _{3}$ be an upper bound for $\gamma _{1}$ and $\gamma _{2}$, then $f(\gamma _{3})$ contains $U_{\alpha _{0}}$, but then $y_{\gamma _{3}}=x_{f(\gamma _{3})}$ is not contained in $U_{\alpha _{0}}$, a contradiction. $\Box$

定义（序列）:

令 $X$ 为一个拓扑空间。一个 **序列** 是一个以自然数的定向集为指标的网。

为了表示序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 收敛到点 $x$，我们将使用有用的记号 $x_{n}\to x$.

定义（序闭）:

令 $X$ 为一个拓扑空间。子集 $A\subseteq X$ 被称为 **序列闭** 当且仅当对于所有序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $A$ 中收敛于 $X$，其极限都包含在 $A$ 中。

命题（可数可列空间中用序列刻画闭集）:

令 $X$ 为一个可数可列拓扑空间。则子集 $A\subseteq X$ 是闭集当且仅当它是序列闭的。

（关于可数选择公理的条件）

证明： 首先假设 $A$ 是闭集。那么， $A$ 中任何收敛序列的极限都一定包含在 $A$ 中，因为序列是一种网，而且 网的极限对应命题在没有选择公理的情况下也是成立的。现在假设 $A$ 是序闭集。令 $x\in \partial A$； 我们要证明 $x\in A$。 为邻域滤子 $N(x)$ 选择一个可数基 $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$。 根据可数选择公理，对每个 $n\in \mathbb {N}$ 选择 $x_{n}\in U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\cap A$。 那么序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 收敛到 $x$，因此 $x\in A$。 $\Box$

定义（序连续性）:

拓扑空间之间的函数 $f:X\to Y$ 被称为序连续，当且仅当对于 $X$ 中的所有序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，如果它们收敛于某个 $x\in X$，我们有 $f(x_{n})\to f(x)$。

命题（第一可数空间中连续性的序列判据）:

设 $X$ 为第一可数空间，$Y$ 为拓扑空间，$f:X\to Y$ 为函数。则 $f$ 连续当且仅当它在序列上连续。

（关于可数选择公理的条件）

证明: 若 $f$ 连续，那么当然 $f(x_{n})\to f(x)$ 只要 $x_{n}\to x$，因为 $f(x)$ 的邻域 $V$ 会导致 $x$ 的邻域 $f^{-1}(V)$，$x_{n}$ 将会落在其中，当 $n$ 足够大时，然后由原像的定义 $f(x_{n})\in V$。

如果 $f$ 是逐点连续的，设 $A\subseteq Y$ 是闭集，并设 $B:=f^{-1}(A)$；我们要证明 $B$ 是闭集。设 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $A$ 中的一个序列。根据第一可数空间中序列闭包的刻画，只需证明 $B$ 是序列闭合的。因此，设 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $B$ 中的一个序列，它收敛于某个 $x\in X$。那么 $f(x_{n})\to f(x)$，因此 $f(x)\in A$，因此 $x\in B$。 $\Box$