拓扑/康托尔空间

康托尔空间是康托尔集的推广，可以将康托尔空间的任何元素视为康托尔集的同胚类，如下定义。

康托尔集的定义

康托尔集是通过无限次移除单位区间子集而得到的极限，如这里所示。

因此，在任何给定步骤中，我们都会移除单位区间的中间三分之一，令 $C_{0}=[0,1]$，因此在第 n 步中，我们有

$C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup {\big (}{\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}{\big )}$

因此，其效果是将前一步缩小三分之一，并将两个副本并排放置。然后康托尔集是

$C=\bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}$

康托尔空间的定义

康托尔空间是任何与上述定义的 $C$ 同胚的拓扑空间。以下定理阐明了该定义的价值。

布劳威尔定理

布劳威尔原定理的一种等效形式是：“一个拓扑空间是康托尔空间，当且仅当它是非空的、完美的、紧致的、完全不连通的，并且是可度量的。”

为了理解这一点，让我们补充一下尚未涵盖的定义。

1. 显然，非空意味着它不是空集。

2. 完美意味着该空间没有孤立点（没有其单点集是环境空间中开放集的点）。

3. 紧致性已经涵盖了。

4. 完全不连通意味着该空间的连通分量（最大连通子集）都是点。

5. 可度量意味着该空间存在一个度量。

因此，该定理指出，这些条件的组合将导致一个与康托尔集同胚的空间。

示例

考虑从无限二进制码集 $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$（通常写为 $2^{\mathbb {N} }$）到上述定义的康托尔集的映射：$f:2^{\mathbb {N} }\to C$，定义为对于序列 $a=(a_{i})_{i=0}^{\infty }$

$f(a)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {2a_{i}}{3^{i+1}}}$

那么 f 是一个度量空间的同胚，这意味着上述所有性质都适用于空间 $2^{\mathbb {N} }$.