拓扑

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一般拓扑学完全基于集合论，并且关注集合的结构。它本质上是距离概念的推广，尽管对于初学者来说，这一点可能并不立即显而易见。拓扑学概括了许多与距离相关的概念，例如连续性、紧凑性和收敛性。

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开始之前

为了让您作为读者以及作者更容易，在开始之前，您需要熟悉一些主题。

实分析
- 连续函数
- 序列和级数，收敛和发散
集合论
- 集合运算：并集、交集、补集，德摩根定律等。
- 序关系：有序集、等价关系，格。
- 函数：函数的定义和性质
- 基数：有限集、可数集和不可数集
- 佐恩引理和选择公理
数学逻辑和证明
- 数学都是关于证明的。本书的目标之一是提高您进行证明的技能，但您在这里不会学到任何基础知识。

动机和预备知识

第 1.1 章介绍
第 1.2 章历史
第 1.3 章集合论的基本概念 (2013 年 4 月 13 日)

一般拓扑

拓扑学简介

第 2.2.1 章度量空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.2 章拓扑空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.3 章基 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.4 章集合中的点 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.5 章序列 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.6 章子空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.7 章序 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.8 章序拓扑 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.9 章积空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.10 章商空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.2.11 章连续性和同胚 (2013 年 4 月 13 日)

拓扑空间的性质

第 2.3.1 章分离公理 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.2 章连通性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.3 章路径连通性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.4 章紧致性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.5 章梳状空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.6 章局部连通性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.7 章线性连续体 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.8 章可数性 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.9 章康托尔空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.10 章完备性 - 不是拓扑性质 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.11 章完备化 (2013 年 4 月 13 日)
第 2.3.12 章完美映射 - 可选章节，具有挑战性 (2013 年 4 月 13 日)

向量空间

第 3.1 章向量空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.2 章态射 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.3 章凸性 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.4 章哈恩-巴拿赫定理 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.5 章拓扑向量空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.6 章欧几里得空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.7 章赋范向量空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.8 章巴拿赫空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 3.9 章希尔伯特空间 (2013 年 4 月 13 日)

代数拓扑

同伦

第 4.1 章自由群和群的表示 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.2 章形变收缩 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.3 章同伦 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.4 章基本群 (2013 年 4 月 13 日)
第 4.5 章诱导同态 (2013 年 4 月 13 日)

多胞形

第 5.1 章单纯复形 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.2 章重心坐标 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.3 章几何复形 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.4 章重心细分 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.5 章单纯映射 (2013 年 4 月 13 日)
第 5.6 章嵌入定理 (2013 年 4 月 13 日)

同调

第 6.1 章精确序列 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.2 章同调群 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.3 章奇异同调 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.4 章相对同调 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.5 章 Mayer-Vietoris 序列 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.6 章切除定理 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.7 章 Eilenberg-Steenrod 公理 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.8 章相对同伦 (2013 年 4 月 13 日)
第 6.9 章 Vietoris 同调 (2013 年 4 月 13 日)

上同调

第 7.1 章上同调 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.2 章上同调积 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.3 章帽积 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.4 章相对上同调 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.5 章诱导同胚 (2013 年 4 月 13 日)
第 7.6 章 Čech 上同调 (2013 年 4 月 13 日)

高级方法

第 8.1 章庞加莱对偶 (2013 年 4 月 13 日)
第 8.2 章谱序列 (2013 年 4 月 13 日)

微分拓扑

第 9.1 章流形 (2013 年 4 月 13 日)
第 9.1.1 章流形类别 (2013 年 4 月 13 日)
第 9.2 章切空间 (2013 年 4 月 13 日)
第 9.3 章向量丛 (2013 年 4 月 13 日)

附录

A 进一步阅读
B 索引

帮助

问答

有问题吗？为什么不问问你正在学习的教科书呢？

1. 拓扑学、代数和分析有什么区别？

拓扑学是对分析和几何学的推广。它有很多种形式：点集拓扑学、流形拓扑学和代数拓扑学，仅举几例。所有拓扑学都概括了分析中处理空间的概念，例如函数的连续性、空间的连通性、开集和闭集（等等）。代数拓扑学将代数结构（群、环等）归因于拓扑空间族，以区分这些族中的拓扑差异。流形拓扑学处理局部与欧几里得空间相同的空间，即曲面。流形通常配备额外的结构，例如光滑、PL、辛等。对拓扑学的简单描述是，它识别了空间在扭曲和拉伸下不会改变的那些性质。因此，它通常被称为“橡胶片几何学”。实际上，拓扑学所做的远不止这些，事实上，它为所有处理“空间”的数学分支提供了严谨的基础。

代数处理在具有特定性质的不同运算下集合的结构。常见的代数对象包括群、环和域。代数的主要结果之一包括伽罗瓦理论，该理论最终表明，没有一般的五次多项式方程解法。代数中也很重要的结果是代数基本定理（它说，在复数域中，每个非常数多项式至少有一个根）、群分类，等等。

另一方面，分析（或更确切地说是实分析）处理实数 $\mathbb {R}$ 的标准拓扑和代数结构。分析为导数和积分的定义提供了严格的证明，以及对序列和极限的处理。从某种意义上说，可以将其视为微积分的严格处理。

2. 基和开覆盖的概念是如何相关的？似乎每个基都是一个开覆盖，但并非每个开覆盖都是一个基。但是，为什么需要这两个概念？

基和开覆盖这两个术语并没有明显的联系。每个基都是一个开覆盖，这可能是最主要的联系。例如，取一个第二可数的拓扑空间（第二可数意味着空间在其拓扑中有一个可数基）。这样的空间满足以下性质：每个开覆盖都有一个可数子覆盖。为了证明这一点，我们使用基的可数性。基本上，对于任何开覆盖，我们为空间中的每个元素选择一个包含它的开覆盖元素，因此包含在这个开覆盖元素中的一个基元素。因此，对于任何开覆盖，我们可以生成一个基元素的开覆盖，它是一个“开精细”（请参阅维基百科的定义）。从这里，我们可以从基的性质获得开覆盖的性质。如果基是可数的，我们就可以从原始覆盖生成一个可数的开覆盖。

我们有这两个定义的原因是因为这两件事具有不同的属性。关于基最有用的事实是它决定了拓扑。基必须有“任意小的”集合，也就是说，任何开集都包含一个基元素。另一方面，开覆盖根本不决定拓扑。它可以用来构建诸如单位分解之类的东东，并且通常依赖于紧致性。拓扑专家 (讨论) 2008 年 6 月 8 日 04:17 (UTC)

3. 什么是同调？

虽然同伦是人们最初想要研究的东西，但事实证明，同伦理论中的大多数问题都很难。如果我们用单纯形“替换”同伦理论中的球体，我们可以提取关于空间“孔洞”的类似信息（这通常是我们感兴趣的），我们会得到一个更易计算的群序列。Hurewicz 定理甚至告诉我们，在某些情况下，同伦群可以通过同调群来计算。

进一步阅读

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一般拓扑

Aleksandrov; 组合拓扑 (1956)
Baker; 拓扑学导论 (1991)
Dixmier; 一般拓扑学 (1984)
Engelking; 一般拓扑学 (1977)
Munkres; 拓扑学 (2000)
James; 拓扑空间和一致空间 (1987)
Jänich; 拓扑学 (1984)
Kuratowski; 集合论和拓扑学导论 (1961)
Kuratowski; 拓扑学 (1966)
Roseman; 初等拓扑学 (1999)
Seebach, Steen; 拓扑学中的反例 (1978)
Willard; 一般拓扑学 (1970)

代数拓扑

Marvin Greenberg 和 John Harper; 代数拓扑学 (1981)
Allen Hatcher, 代数拓扑学 (2002) [1]
Hu, Sze-tsen, 上同调理论 (1968)
Hu, Sze-tsen, 同调理论 (1966)
Hu, Sze-tsen, 同伦理论 (1959)
Albert T. Lundell 和 Stephen Weingram, CW 复形的拓扑学 (1969)
Joerg Mayer, 代数拓扑学 (1972)
James Munkres, 代数拓扑学要素 (1984)
Joseph J. Rotman, 代数拓扑学导论 (1988)
Edwin Spanier, 代数拓扑学 (1966)