拓扑/完备化

度量空间的完备化是从一个可能不完备的度量空间构造一个完备度量空间的一个非常重要的构造。实际上，它是将度量空间扩展到其完备版本的最小扩展。

定义：取度量空间 X 中柯西序列的等价类，使得当两个柯西序列彼此收敛时，它们是等价的，即它们的差值趋近于极限 0。这组等价类称为度量空间的闭包。

定理

度量空间的完备化是唯一的且完备的，并且在度量 d(x_n,y_n) 等于它们的差值的极限下形成度量空间，其中 x_n 和 y_n 是两个柯西序列，并且这个度量是良定义的。此外，收敛于度量空间 X 中元素的等价类的子集同胚于 X，并且 X 的任何其他完备扩展必须包含其完备化。

示例

构造实数的一种方法是说它是 rational 数的完备化。