拓扑/Eilenberg–Steenrod 公理

Eilenberg–Steenrod 公理 是拓扑空间同伦论的共同属性。满足这些公理的同伦论的典型例子是奇异同伦论，由 Samuel Eilenberg 和 Norman Steenrod 开发，我们已经遇到过。

可以将同伦论定义为满足 Eilenberg–Steenrod 公理的函子序列。公理化方法是在 1945 年发展起来的，它允许人们证明结果，例如 Mayer–Vietoris 序列，这些结果对所有满足公理的同伦论都是通用的。^[1]

如果省略维度公理（如下所述），则其余公理定义了所谓的奇异同伦论。奇异上同调理论首先出现在 K-理论和配边理论中。

正式定义

Eilenberg–Steenrod 公理适用于从拓扑空间对 (X, A) 的范畴到阿贝尔群范畴的函子序列 $H_{n}$，以及一个自然变换 $\partial :H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$，称为边界映射（这里 H_i − 1(A) 是 H_i − 1(A,∅) 的简写）。公理如下

1. 同伦：同伦映射在同伦论中诱导出相同的映射。也就是说，如果 $g:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ 与 $h:(X,A)\rightarrow (Y,B)$ 同伦，那么它们诱导的 映射 是相同的。
2. 切除：如果 (X, A) 是一个对，U 是 X 的一个子集，使得 U 的闭包包含在 A 的内部，那么包含映射 $i:(X-U,A-U)\to (X,A)$ 在同伦论中诱导出一个 同构。
3. 维度：令 P 为单点空间；那么 $H_{n}(P)=0$ 对于所有 $n\neq 0$。
4. 可加性：如果 $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$，拓扑空间族 $X_{\alpha }$ 的不交并，那么 $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).$
5. 精确性: 每对(X, A) 通过包含 $i:A\to X$ 和 $j:X\to (X,A)$ 诱导出同调中的 长精确序列。

$\cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .$

如果P 是一个点空间，则H₀(P) 称为系数群。例如，奇异同调（最常用的是整数系数）的系数是整数。

推论

一些关于同调群的事实可以从公理直接推导出来，例如同伦等价空间具有同构的同调群。

一些相对简单的空间，例如n-球面 的同调可以直接从公理中计算出来。从这一点可以很容易地证明 (n − 1)-球面不是n-圆盘的 收缩。这被用于证明 布劳威尔不动点定理。

维数公理

满足除了维数公理之外的所有 Eilenberg–Steenrod 公理的“类同调”理论被称为非凡同调理论（对偶地，非凡上同调理论）。这类理论的重要例子是在 20 世纪 50 年代发现的，例如拓扑 K-理论和配边理论，它们是非凡上同调理论，并具有与它们对偶的同调理论。

练习

（正在建设中。）

参考文献

• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, 同调理论的公理化方法, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, 代数拓扑基础, 普林斯顿大学出版社, 普林斯顿，新泽西州，1952. xv+328 页。
• 格伦·布雷顿: 拓扑学与几何学, 1993, ISBN 0-387-97926-3.