拓扑/欧几里得空间

欧几里得空间是大家最熟悉的空间。在欧几里得 k 空间中，任意两点之间的距离为

$d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}{(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$

其中 k 是欧几里得空间的维数。由于欧几里得 k 空间具有度量，因此它也是一个拓扑空间。

序列

定义：实数序列 $\{s_{n}\}$ 称为收敛到实数 s，当且仅当对于每个 $\epsilon >0$ 存在一个数 $N$ 使得 $n>N$ 蕴涵 $\mid s_{n}-s\mid <\epsilon$.

定义：实数序列 $\{s_{n}\}$ 称为柯西序列，当且仅当对于每个 $\epsilon >0$ 存在一个数 $N$ 使得 $m,n>N$ $\Rightarrow$ $\mid s_{n}-s_{m}\mid$ $<\epsilon$.

引理 1

收敛序列是柯西序列。

证明：假设 $lim\;s_{n}=s$.

那么，

$\mid s_{n}-s_{m}\mid =\mid s_{n}-s+s-s_{m}\mid \leq \mid s_{n}-s\mid +\mid s-s_{m}\mid$

令 $\epsilon >0$。那么 $\exists N$ 使得

$n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s\mid <{\frac {\epsilon }{2}}$

同样

$m>N\Rightarrow \mid s_{m}-s\mid <{\frac {\epsilon }{2}}$

所以

$m,n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s_{m}\mid \leq \mid s_{n}-s\mid +\mid s-s_{m}\mid <{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$

因此，$\{s_{n}\}$ 是一个柯西序列。

定理 1

收敛序列是有界的。

证明：令 $\{s_{n}\}$ 为收敛序列，并令 $lim\;s_{n}=s$。根据收敛定义，令 $\epsilon =1$，我们可以找到 N $\in \mathbb {N}$ 使得

$n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s\mid <1$

根据三角不等式；

$n>N\Rightarrow \mid s_{n}\mid <\mid s\mid +1$

令 $M=max\{\mid s_{n}\mid +1,\mid s_{1}\mid ,\mid s_{2}\mid ,...,\mid s_{N}\mid \}$。

那么，

$\mid s_{n}\mid \leq M$

对于所有 $n\in \mathbb {N}$。因此 $\{s_{n}\}$ 是一个有界数列。

定理 2

在完备空间中，一个数列是收敛数列当且仅当它是柯西数列。

证明

$\Rightarrow$ 收敛数列是柯西数列。见引理 1。

$\Leftarrow$ 考虑一个柯西数列 $\{s_{n}\}$。由于柯西数列是有界的，唯一要证明的是

$\liminf s_{n}=\limsup s_{n}$

设 $\epsilon >0$。由于 $\{s_{n}\}$ 是一个柯西数列，$\exists N$ 使得

$m,n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s_{m}\mid <\epsilon$

因此，对于所有$m,n>N$，有$s_{n}<s_{m}+\epsilon$。这表明$s_{m}+\epsilon$ 是$\{s_{n}:n>N\}$ 的上界，因此对于所有$m>N$，有$v_{N}=\sup\{s_{n}:n>N\}\leq s_{m}+\epsilon$。同时，$v_{N}-\epsilon$ 是$\{s_{m}:m>N\}$ 的下界。因此，$v_{n}-\epsilon \leq \inf\{s_{m}:m>N\}=u_{N}$。现在

$\limsup s_{n}\leq v_{N}\leq u_{N}+\epsilon \leq \liminf s_{n}+\epsilon$

由于这对于所有$\epsilon >0$ 都成立，$\limsup s_{n}\leq \liminf s_{n}$。相反的不等式总是成立，因此我们证明了定理。

注意：以上证明假设图像空间是$\mathbb {R}$。如果没有这个假设，我们需要更多的工具来证明它。

定义

图像空间可以有多个度量。通常情况下，最好以更通用的方式讨论度量空间。度量空间$(S,d)$中的一个序列$\{s_{n}\}$ *收敛* 到 S 中的 s，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }d(s_{n},s)=0$。如果对于每个$\epsilon >0$，存在一个$N$ 使得

$m,n>N\Rightarrow d(s_{m},s_{n})<\epsilon$

.

则该度量空间$(S,d)$被称为*完备*，如果$S$中的每个柯西序列都收敛到$S$中的某个元素。

定理 3

令$X$为一个完备度量空间，而$Y$为$X$的子空间。那么$Y$为一个完备度量空间当且仅当$Y$为$X$的闭子集。

证明：$\Leftarrow$ 假设$Y$为$X$的闭子集。令$\{s_{n}\}$为$Y$中的一个柯西序列。

然后 $\{s_{n}\}$ 也是 $X$ 中的柯西序列。由于 $X$ 是完备的，$\{s_{n}\}$ 收敛于 $X$ 中的点 $s$。然而，$Y$ 是 $X$ 的闭子集，所以 $Y$ 也是完备的。

$\Rightarrow$ 作为练习留给读者。

练习

1. 令 $x,y\in \mathbb {R} ^{k}$。令 $d_{1}(x,y)=max\mid x_{i}-y_{i}\mid$，其中 $\{i=1,2,...,k\}$ 且 $d_{2}(x,y)=\sum _{i}^{k}\mid x_{i}-y_{i}\mid$。证明

a.) $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 是 $\mathbb {R} ^{k}$ 的度量。

b.) $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 构成一个完备的度量空间。

2. 证明 $\mathbb {R}$ 中的每个开集都是有限或无限个开区间的互不相交并集。

3. 完成定理 3 的证明。

4. 考虑：令 $X$ 和 $Y$ 是度量空间。

a.) 一个映射 $T:X\rightarrow Y$ 被称为 Lipschitz 映射，如果存在一个非负数 c，称为该映射的 Lipschitz 常数，使得

$d[T(x),T(y)]\leq cd(x,y)\;\forall x,y\in X$

b.) 一个 Lipschitz 映射 $T:X\rightarrow Y$，其 Lipschitz 常数小于 1，被称为 压缩映射。

假设 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 和 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 都是 Lipschitz 函数。它们的乘积是否为 Lipschitz 函数？