拓扑/自由群和群的表示

由集合生成的自由幺半群

设 $V$ 是一个向量空间，且 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 是 $V$ 的一个基。给定任何向量空间 $W$ 和任何元素 $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$，存在一个线性变换 $\varphi :V\rightarrow W$，使得 $\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\,\varphi (v_{i})=w_{i}$。可以说这是因为基元素 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 之间没有“关系”（形式上，它们是线性无关的）。事实上，例如，如果我们有关系 $v_{1}=\lambda v_{2}$，其中 $\lambda$ 是一个标量（然后 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 就不是线性无关的），那么线性变换 $\varphi$ 就不会存在。

Let us consider a similar problem with groups: given a group $G$ spanned by a set $X=\{x_{i}:i\in I\}\subseteq G$ and given any group $H$ and any set $Y=\{y_{i}:i\in I\}\subseteq H$, does there always exist a group morphism $\varphi :G\rightarrow H$ such that $\forall i\in I,\,\varphi (x_{i})=y_{i}$? The answer is no. For example, consider the group $G=\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ which is spanned by the set $X=\{1\}$, the group $H=\mathbb {R}$ (with the adition operation) and the set $Y=\{2\}$. If there exists a group morphism $\varphi :\mathbb {Z} _{n}\rightarrow \mathbb {R}$ such that $\varphi (1)=2$, then $n2=n\varphi (1)=\varphi (n\,1)=\varphi (0)=0$, which is impossible. But if instead we had choose $G=\mathbb {Z}$, then such a group morphism does exist and it would be given by $\varphi (t)=2t$. Indeed, given any group $H$ and any $y\in H$, we have the group morphism $\varphi :\mathbb {Z} \rightarrow H$ defined by $\varphi (t)=y^{t}$ (in multiplicative notation) that verifies $\varphi (1)=y$. In a way, we can think that this happens because the elements of the set $X=\{1\}\subseteq \mathbb {Z}$ (that spans $\mathbb {Z}$) don't verify relations like $nx=1$ (like $\mathbb {Z} _{n}$) or $xy=yx$. So, it seems that $\mathbb {Z}$ is a group more "free" that $\mathbb {Z} _{n}$.

本节的目标是，给定一个集合 $X$，构建一个由集合 $X$ 生成的群，使得它尽可能“自由”，也就是说，它不必服从诸如 $x^{n}=1$ 或 $xy=yx$ 这样的关系。为此，我们首先构造一个“自由”幺半群（以同样的意义）。非正式地说，这个幺半群将是使用字母表 $X$ 的字母书写的单词的幺半群，其中恒等元将是没有任何字母的单词（“空单词”），幺半群的二元运算将是单词的串联。我们将用来表示该幺半群的元素的记号 $x_{1}\ldots x_{n}$ 符合这个概念，即这个幺半群的元素是单词 $x_{1}\ldots x_{n}$，其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 是字母表 $X$ 的字母。以下是该幺半群的定义。

定义 设 $X$ 为一个集合。

1. 我们将 $n$-元组 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$，其中 $x_{i}\in X$ 且 $n\in \mathbb {N}$，记为 $x_{1}\ldots x_{n}$。
2. 我们将 $()$ 表示为 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$，其中 $n=0$，表示为 $1$。
3. 我们将 $FM(X)$ 表示为集合 $\{x_{1}\ldots x_{n}:n\in \mathbb {N} ,x_{i}\in X\}$。
4. 我们在 $FM(X)$ 中定义连接操作 $*$ 为 $x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n}=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}$。

接下来我们将证明这个幺半群确实是一个幺半群。这是一个很容易证明的结果，我们需要证明 $*$ 的结合律和 $1*x=x*1=x$。

命题 $(FM(X),*)$ 是一个幺半群，其单位元为 $1$。

证明 操作 $*$ 是结合的，因为对于任意 $x_{1}\ldots x_{m},y_{1}\ldots y_{n},z_{1}\ldots z_{p}\in FM(X)$，我们有

$(x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n})*z_{1}\ldots z_{m}$

$=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m}$

$=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m}$

$=x_{1}\ldots x_{m}*(y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m})$

$=x_{1}\ldots x_{m}(y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m})$.

很明显，$(FM(X),*)$ 的单位元为 $1$，因为根据 $1$ 和 $*$ 的定义，$1*x_{1}\ldots x_{n}=x_{1}\ldots x_{n}$。 $\square$

遵循这样的想法：幺半群 $(FM(X),*)$ 是由 $X$ 张成的“最自由”的幺半群，我们将它称为由 $X$ 张成的自由幺半群。

定义 令 $X$ 为一个集合。我们用 $(FM(X),*)$ 表示由 $X$ 张成的自由幺半群。

示例

1. 令 $X=\{x\}$。那么 $FM(X)=\{1,x,xx,xxx,\ldots \}$，例如，$xx*xxx=xxxxx$。
2. 令 $X=\{x,y,z\}$。那么 $1,x,y,z,xxx,yxz,xyzzz\in FM(X)$，例如 $xxx*yxz=xxxyxz$。

由集合生成的自由群

Now let us construct the more "free" group spanned by a set $X$. Informally, what we will do is insert in the monoid $FM(X)$ the inverse elements that are missing in it for it to be a group. In a more precise way, we will have a set ${\bar {X}}$ equipotent to $X$, choose a bijection from $X$ to ${\bar {X}}$ and in this way achieve a "association" between the elements of $X$ and the elements of ${\bar {X}}$. Then we face $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X)$ (with $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$) as having the inverse element ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ (with ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}\in X$), where $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ is is associated with ${\overline {x_{1}}}\ldots {\overline {x_{n}}}$, respectively. Let us note that the order of the elements in ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ is "reversed" because the inverse of the product $x_{1}\ldots x_{n}=x_{1}*\cdots *x_{n}$ must be $x_{n}^{-1}*\cdots *x_{1}^{-1}$, and the $x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1}$ are, respectively, ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}$. The way we do that ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ be the inverse of $x_{1}\ldots x_{n}$ is to take a congruence relation $R$ that identifies $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ with $1$, and pass to the quotient $FM(X\cup {\bar {X}})$ by this relation (defining then, in a natural way, the binary operation of the group, $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$). By taking the quotient, we are formalizing the intuitive idea of identifying $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ with $1$, because in the quotient we have the equality $[x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}]_{R}=[1]_{R}$. Let us give the formal definition.

定义 令 $X$ 为一个集合。让我们取另一个集合 ${\overline {X}}$ 与 $X$ 等势且与 $X$ 不交，并令 $f:X\rightarrow {\overline {X}}$ 为一个双射映射。

1. 对于每个 $x\in X$，让我们用 ${\bar {x}}$ 表示 $f(x)$，对于每个 $x\in {\overline {X}}$，让我们用 ${\bar {x}}$ 表示 $f^{-1}(x)$，对于每个 $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X\cup {\overline {X}})$，让我们用 ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ 表示 ${\overline {x_{1}\ldots x_{n}}}$。
2. 令 $R$ 为 $FM(X\cup {\overline {X}})$ 由 $G=\{(u*{\bar {u}},1):u\in X\cup {\overline {X}}\}$ 生成的同余关系，也就是说，$R$ 是 $FM(X\cup {\overline {X}})$ 中所有包含 $G$ 作为子集的同余关系的交集。我们将商集 $FM(X\cup {\overline {X}})/R$ 记作 $FG(X)$.

通常，我们滥用符号，用 $u$ 简洁地表示 $FG(X)$ 中的元素 $[u]_{R}$.

由于我们在 $FM(X\cup {\bar {X}})/R$ 中定义的运算 $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$ 是使用等价类 $[u]_{R}$ 和 $[v]_{R}$ 的特定代表元 $u$ 和 $v$ 定义的，第一步就是要验证这个定义是否独立于选择的代表元。这是一个简单的验证。

引理 设 $X$ 为一个集合。在 $FG(X)$ 中，二元运算 $\star$ 定义为 $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$（其中 $R$ 是前面定义中的同余关系）。

证明 设 $u,u',v,v'\in FM(X)$ 为任意元素，使得 $[u]_{R}=[u']_{R}$ 且 $[v]_{R}=[v']_{R}$，即 $uRu'$ 且 $vRv'$。因为 $R$ 是 $FM(X\cup {\bar {X}})$ 中的同余关系，我们有 $u*vRu'*v'$，即 $[u*v]_{R}=[u'*v']_{R}$。 $\square$

由于定义有效，我们给出定义。

定义 令 $X$ 为一个集合。我们在 $FG(X)$ 中定义二元运算 $\star$ 为 $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$。

最后，我们验证我们构造的群确实是一个群。

命题 令 $X$ 为一个集合。 $(FG(X),\star )$ 是一个群，其单位元为 $[1]_{R}$，并且 $\forall [u]_{R}\in FG(X),\,{[u]_{R}}^{-1}=[{\bar {u}}]_{R}$。

证明

1. $(FG(X),\star )$ 是结合的，因为 $\forall [u]_{R},[v]_{R},[w]_{R}\in FG(X),\,([u]_{R}\star [v]_{R})\star [w]_{R}=([u*v]_{R})\star [w]_{R}=[([u]_{R}*[v]_{R})*w]_{R}=$ $[u*(v*w)]_{R}=[u]_{R}\star [v*w]_{R}=[u]_{R}\star ([v]_{R}\star [w]_{R}).$
2. 让我们看看 $[1]_{R}$ 是 $(FG(X),\star )$ 的单位元。令 $[u]_{R}\in FG(X)$ 为任意元素，我们有 $[u]_{R}\star [1]_{R}=[u*1]_{R}=[u]_{R}$，并且以同样的方式，$[1]_{R}\star [u]_{R}=[u]_{R}$。
3. 令 $[u]_{R}\in FG(X)$ 为任意元素，让我们看看 $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$。我们有 $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[u*{\bar {u}}]_{R}$，根据 $R$ 的定义，$u*{\bar {u}}R1$，也就是说，$[u*{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$，因此 $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$，并且以同样的方式，$[{\bar {u}}]_{R}\star [u]_{R}=[1]_{R}$。 $\square$

与自由幺半群类似，我们将由集合 $X$ 生成的自由群称为由该集合生成的“更自由”的群。

定义 令 $X$ 为一个集合。我们将由 $X$ 生成的自由群称为 $(FG(X),\star )$。

Example Let $X=\{x\}$. Let us choose any set ${\bar {X}}=\{y\}$ disjoint (and equipotent) of $X$. Let $f:X\rightarrow {\bar {X}}$ be any (in fact, the only) bijective application of $X$ in ${\bar {X}}$. Then we denote $f(x)=y$ by ${\bar {x}}$ and we denote $f^{-1}(y)=x$ by ${\bar {y}}$. We regard $x$ and $y$ as inverse elements. Let $R$ be the congruence relation of $FM(X\cup {\bar {X}})$ spanned by $G=\{(1,1),(x{\bar {x}},1),(xx{\bar {x}}{\bar {x}},1),\ldots \}$. $FG(X)=FM(\{x,{\bar {x}}\})/R$ is the set of all "words" written in the alphabet $\{[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R}\}$. For example, $[1]_{R},[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R},[xx{\bar {x}}xx]_{R}\in FG(X)$.

我们有 $G\subseteq R$，例如，$(xx{\bar {x}},1)\in R$，因为 $(x{\bar {x}},1)\in G\subseteq R$（因此 $x{\bar {x}}R1$）并且因为 $R$ 是一个同余关系，我们可以将关系 $x{\bar {x}}R1$ 的两边 "乘以" $x$ 并得到 $xx{\bar {x}}Rx$。我们看到 $x{\bar {x}}R1$ 的意思是，在 $FG(X)$ 中，我们有 $xx{\bar {x}}=x$（更准确地说，$[xx{\bar {x}}]_{R}=[x]_{R}$），我们认为这个等式是 $xx{\bar {x}}$ 中用 ${\bar {x}}$ "剪掉" 一个 $x$ 的结果。

给定 $u\in FM(X\cup {\bar {X}})$，让我们用 $|u|_{x}$ 表示 "字母" $x$ 在 $u$ 中出现的精确次数，并用 $|u|_{\bar {x}}$ 表示 "字母" ${\bar {x}}$ 在 $u$ 中出现的精确次数。然后用 ${\bar {x}}$ "剪切" $x$，它仍然是一个简化的词，其中有 $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$ 次字母 $x$（如果 $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}<0$，让我们考虑没有字母 $x$，并且有 $-(|u|_{x}-|u|_{\bar {x}})$ 次字母 ${\bar {x}}$）。让我们用 $|u|_{x-{\bar {x}}}$ 表示 $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$。我们有

1. $[u]_{R}=[v]_{R}$ 当且仅当 $|u|_{x-{\bar {x}}}=|v|_{x-{\bar {x}}}$ 且
2. $\forall [u]_{R},[v]_{R}\in FG(X),\,|uv|_{x-{\bar {x}}}=|u|_{x-{\bar {x}}}+|v|_{x-{\bar {x}}}$.

这样，每个元素 $[u]_{R}\in FG(X)$ 由整数 $|u|_{x-{\bar {x}}}$ 决定，并且两个元素 $[u]_{R},[v]_{R}\in FG(X)$ 的乘积 $\star$ 对应于他们关联的整数 $|u|_{x-{\bar {x}}}$ 和 $|v|_{x-{\bar {x}}}$ 的和。因此，群 $(FG(X),\star )$ 与 $(\mathbb {Z} ,+)$ “相似”。实际上 $(FG(X),\star )$ 同构于 $(\mathbb {Z} ,+)$ ，映射 $|\cdot |_{x-{\bar {x}}}:FG(X)\rightarrow \mathbb {Z}$ 是一个群同构。

群的表示

Informally, it seems that $\mathbb {Z} _{n}$ is obtained from the "free" group $\mathbb {Z}$ imposing the relation $nx=1$. Let us try formalize this idea. We start with a set $X$ that spans a group $G$ that que want to create and a set of relations $R$ (such as $x^{n}=1$ or $xy=yz$) that the elements of $G$ must verify and we obtain a group $G/R$ spanned by $G$ and that verify the relations of $R$. More precisely, we write each relation $u=v$ in the form $uv^{-1}=1$ (for example, $xy=yx$ is written in the form $xyx^{-1}y^{-1}=1$) and we see each $uv^{-1}$ as a "word" of $FG(X)$. Because $R$ doesn't have to be a normal subgroup of $G$, we can not consider the quotient $FG(X)/R$, so we consider the quotient $FG(X)/N$ where $N$ is the normal subgroup of $FG(X)$ spanned by $R$. In $G/N$, we will have $uv^{-1}N=1N$, which we see as meaning that in $G/N$ the elements $uv^{-1}$ and $1$ are the same. In this way, $FG(X)/N$ will verify all the relations that we want and will be spanned by $X$ (more precisely, by $\{xN:x\in X\}$). Let us formalize this idea.

定义 设 $G$ 是一个群。我们称 $G$ 的表示，并用 $<X:R>$ 表示为一个有序对 $(X,R)$，其中 $X$ 是一个集合，$R\subseteq FG(X)$ 并且 $G\simeq FG(X)/N$，其中 $N$ 是 $FG(X)$ 由 $R$ 生成的正规子群。给定一个表示 $<X:R>$，我们称生成集为 $X$，关系集为 $R$。

让我们看看一些自由群 $FG(X)$ 和群 $\mathbb {Z} _{n}$，$\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$，$\mathbb {Z} _{m}\oplus \mathbb {Z} _{n}$ 和 $S_{3}$ 的表示的例子。我们还将使用这些例子来介绍一些常见的符号，并说明群的表示不必是唯一的。

示例

1. 令 $X$ 为一个集合。 $<X:{\emptyset }>$ 是 $FG(X)$ 的一个表示，因为 $FG(X)\simeq FG(X)/\{1\}$，其中 $\{1\}$ 是 $FG(X)$ 中由 $\emptyset$ 生成的正规子群。特别是，$<\{x\}:\emptyset >$ 是 $(\mathbb {Z} ,+)\simeq FG(\{x\})$ 的一个表示，通常记为 $<x:\emptyset >$。$(\mathbb {Z} ,+)$ 的另一个表示是 $<\{x,y\}:\{xy^{-1}\}>$，通常记为 $<x,y:xy^{-1}>$。非正式地说，在表示 $<x,y:xy^{-1}>$ 中，我们向生成元集合中添加了一个新的元素 $y$，但我们加上了关系 $xy^{-1}=1$，也就是说，$x=y$，这与没有引入元素 $y$ 并且保持使用表示 $<x:\emptyset >$ 是相同的。
2. 令 $X=\{x\}$。 $<X:\{x^{n}\}>$（其中 $x^{n}=x\star \cdots \star x\in FG(X)$ $n$ 次）是 $\mathbb {Z} _{n}$ 的一个表示。事实上，$FG(X)$ 由 $\{x^{n}\}$ 张成的子群是 $N=\{\ldots ,{\bar {x}}^{2n},{\bar {x}}^{n},1,x^{n},x^{2n},\ldots \}\simeq n\mathbb {Z}$，并且 $FG(X)\simeq \mathbb {Z}$，因此 $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \simeq FG(X)/N$。更常见的是用 $<x:x^{n}>$ 表示 $<\{x\}:\{x^{n}\}>$。
3. 设 $X=\{x,y\}$ （其中 $x$ 和 $y$ 不同）以及 $R=\{xyx^{-1}y^{-1}\}$。 $<X:R>$ 是 $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ 的一个表示。简单来说，我们是在 $FG(X)$ 中强加交换性，即 $xy=yx$，即 $xyx^{-1}y^{-1}=1$，从而得到一个与 $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ 同构的群。通常情况下， $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1}\}>$ 会用 $<x,y:xyx^{-1}y^{-1}>$ 来表示。
4. 令 $X=\{x,y\}$ 且 $R=\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}$。 $<X,R>$ 是 $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$ 的一个表示。非正式地说，我们以与前一个示例相同的方式强加交换性，并强加 $x^{m}=1$ 和 $x^{n}=1$ 来获得 $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$ 而不是 $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$。 更常见的是用 $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}>$ 来表示 $<x,y:xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}>$。
5. $<\{a,b,c\}:\{aa,bb,cc,abac,cbab\}>$, more commonly written $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$, is a presentation of $S_{3}$, the group of the permutations of $\{1,2,3\}$ with the composition of applications. To verify this, one can verify that any group with presentation $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ as exactly six elements $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ and $ac$, and that the multiplication of this elements results in the following Cayley table that is equal to the Cayley table of $S_{3}$. Just to give an idea how this can be achieved, a group with presentation $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ as exactly the elements $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ and $ac$ because none of this elements are the same (the relations $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$ don't allow us to conclude that two of the elements are equal) and because "another" elements like $bc$ are actually one of the previous elements (for example, from $cbab=id$ we have $cb=ab$, and taking inverses of both members, we have $b^{-1}c^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, which, using $a^{2}=b^{2}=c^{2}=id$, this is, $a=a^{-1}$, $b=b^{-1}$ and $c=c^{-1}$, results in $bc=ba$). Then, using the relations of the presentation, one can compute the Cayley table. For example, $a(ab)=b$ because we have the relation $a^{2}=1$. Another example: we have $b(ac)=a$ because we can multiply both members of the relation $abac=id$ by $a$ and then use $a^{2}=id$. One could have suspected of this presentation by taking $a=(1\ 2)$, $b=(1\ 3)$ and $c=(2\ 3)$ and then, trying to construct the Cayley table of $S_{3}$, found out that it was possible if one know that $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$.

$\times$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$id$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$a$	$a$	$id$	$ab$	$ac$	$b$	$c$
$b$	$b$	$ac$	$id$	$ab$	$c$	$a$
$c$	$c$	$ab$	$ac$	$id$	$a$	$b$
$ab$	$ab$	$c$	$a$	$b$	$ac$	$id$
$ac$	$ac$	$b$	$c$	$a$	$id$	$ab$

自然地，人们会问，所有群是否都有一个表示。下面的定理告诉我们答案是肯定的，并且它为我们提供了一个表示。

定理 令 $(G,\times )$ 是一个群。

1. 由 $\varphi :FG(G)\rightarrow G$ 定义的应用，其中 $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{n}]_{R})=x_{1}\times \cdots \times x_{n}$ （其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$）是一个群上射同态。
2. $<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$ 是 $(G,\times )$ 的一个表示。

证明

1. $\varphi$ 是定义良好的，因为 $FG(X)$ 中的每个元素都具有一个唯一的表示形式，即 $[x_{n}]\star \cdots [x_{n}]_{R}$，其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$，除了 $[1]_{R}$ 在表示中出现多次，但这不会影响 $x_{1}\times \cdots \times x_{n}$ 的值。设 $[x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R},[y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R}\in FG(X)$ 为任意元素，其中 $x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}\in G$。我们有 $\varphi (([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\star ([y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R}))=(x_{1}\times \cdots \times x_{m})\times (y_{1}\times \cdots \times y_{n})=$ $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\times \varphi ([y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R})$，因此 $\varphi$ 是一个群同态。因为 $\forall x\in G,\,\varphi ([x]_{R})=x$，那么 $G$ 是一个满射群同态。
2. 根据群的第一同构定理，我们有$FG(G)/{\textrm {ker}}\,\varphi \simeq \varphi (G)=G$，因此$<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$是$(G,\times )$的一个表示。$\square$

尽管前面的定理给了我们群$G$的一个表示，但它并没有给我们一个“好的”表示，因为生成集$G$通常比其他生成集大得多，关系集$\mathrm {ker} \,\varphi$也通常比其他足够的关系列更大（它甚至是一个$FG(G)$的正规子群，当它足够生成一个合适的正规子群时）。