拓扑/赋范向量空间

赋范向量空间 $(V,|\cdot |)$ 是一个向量空间 V，其中有一个函数 $|\cdot |:V\times V\to \mathbb {R}$ ，表示向量长度，称为范数。

定义

我们知道向量空间的定义，所以我们需要定义范数函数。 $|\cdot |$ 是一个范数，如果这三个条件成立。

1. 只有零向量长度为零，其他所有向量长度都为正。 $|v|\geq 0,|v|=0\iff v=0$ 对于所有 $v\in V$ .

2. 对于 $a\in \mathbb {R}$ 和 $v\in V$ ，我们有 $|av|=|a||v|$ .

3. 三角不等式成立： $|v+w|\leq |v|+|w|$ 对于所有 $v,w\in V$ .

示例

对于给定的 $n\in \mathbb {N}$ ，我们知道 $\mathbb {R} ^{n}$ 是一个向量空间，它的范数可以定义为 $|v-w|=d(v,w)$ ，即 $|v|=d(v,0)$ 。这并不奇怪，实际上我们说一个范数诱导了一个度量，第一个等式表明了这一点。因此，赋范向量空间总是度量空间。让我们证明这一点。