拓扑/完美映射
这应该是一个具有挑战性的部分，将测试读者对之前内容的理解。.
完美映射是特定类型的映射，在点集拓扑中具有有用的应用。完美映射是一种保留“类似逆”性质的映射。就像连通空间的连续像总是连通的，如果某个空间 X 的完美像（在完美映射下的像）是连通的，则 X 必须是连通的。从这个意义上说，完美映射很好，因为它们比同胚弱，但足够强以至于表现得像同胚。我们将在下一节给出正式定义。
令 X 和 Y 是拓扑空间，令 p 是从 X 到 Y 的一个连续、闭、满射映射，并且对于每个 y ∈ Y，p^(-1){y} 相对于 X 是紧致的。则 p 被称为完美映射。
读者可能希望注意到，f 是一个开映射当且仅当 f 的逆是连续的。
1. 如果 p: X->Y 是一个完美映射，并且如果 Y 是紧致的，则 X 是紧致的。
2. 如果 p: X->Y 是一个完美映射，并且如果 X 是正则的，则 Y 是正则的（注意：如果 p 仅仅是连续的，那么如果 X 是正则的，Y 不一定需要是正则的。例如，如果 X 是一个正则空间，并且 Y 是一个在离散拓扑中的无限集）。
3. 如果 p: X->Y 是一个完美映射，并且如果 X 是局部紧致的，则 Y 是局部紧致的。
4. 如果 p: X->Y 是一个完美映射，并且如果 X 是第二可数的，则 Y 是第二可数的。
5. 每个单射完美映射都是一个同胚。这是因为双射闭映射具有连续的逆。
6. 如果 p: X->Y 是一个完美映射，并且如果 Y 是连通的，则 X 不一定需要是连通的。例如，我们可以让 X 是一个紧致的非连通空间，Y 是一个单点拓扑空间，并且 p 是常值映射。
7. 完美映射不一定是开的，如下面的映射所示。
p(x) = x 如果 x ∈ [1,2]
p(x) = x-1 如果 x ∈ [3,4]
此映射是闭的、连续的（根据粘贴引理）和满射的，因此是完美映射（另一个条件显然满足）。但是，p 不是开的，因为 [1,2] 在 p 下的像是 [1,2]，它相对于 [1,3] （p 的值域）不是开的。注意，此映射是一个商映射，并且商运算将两个区间粘合在一起。
8. 注意，为了保留局部连通性、第二可数性、局部紧致性等属性... 我们需要该映射不仅是连续的，而且还是开的。完美映射不一定是开的（参见前面的示例），但是这些属性在完美映射下仍然得到保留。
9. 每个同胚都是一个完美映射。这是因为双射开映射是闭的，并且由于同胚是单射的，所以值域中每个元素的逆在定义域中必须是有限的（实际上，逆必须正好有一个元素）。
1. a) 证明紧致性在同胚下是保留的；也就是说，如果 Y 与 X 同胚，并且 X 是紧致的，那么 Y 也是紧致的。
b) 证明属性 1
2. a) 证明正则性在同胚下是保留的。
b) 证明属性 2（提示：首先证明一个更弱的结果，即如果 Y 是豪斯多夫空间，那么 X 也是豪斯多夫空间）。
3. a) 证明局部紧致性在同胚下是保留的。
b) 证明属性 3
4. a) 证明第二可数性在同胚下是保留的。
b) 证明属性 4
5. 确定以下定理是否有效。如果你认为该定理有效，请证明它。如果不是，请找到一个反例。
令 X 和 Y 是拓扑空间，令 p 是从 X 到 Y 的一个连续、闭、满射映射，并且对于每个 y ∈ Y，p^(-1){y} 相对于 X 是连通的。如果 Y 是连通的，则 X 是连通的。
6. 在学习完下一节关于商空间的内容之后，证明以下定理。
令 q 是从 X 到 Y 的一个商映射，使得对于每个 y ∈ Y，q^(-1){y} 是连通的。如果 Y 是连通的，则 X 是连通的。