首先，我们将标准单纯形定义为标准基向量凸包。然后，我们将边界映射取为 d n : ⟨ e 1 , … , e n ⟩ ↦ ∑ k = 1 n ⟨ e 1 , … , e k − 1 , e k + 1 , … , e n ⟩ {\displaystyle d_{n}:\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle \mapsto \sum _{k=1}^{n}\langle e_{1},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}\rangle }
接下来，我们将这种结构移植到拓扑空间 X 上：X 中的单纯形是某个标准单纯形的连续映射的像。
现在令 C n ( X ) = ⟨ σ : Δ n → X ⟩ {\displaystyle C_{n}(X)=\langle \sigma :\Delta _{n}\to X\rangle } 是 X 中单纯形上的自由群。映射 d n {\displaystyle d_{n}} 现在在复形 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} 上诱导了一个新的链映射。
现在使用上一节中同调的定义，我们定义 H n = ker d n / Im d n + 1 {\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/\operatorname {Im} d_{n+1}} （练习：证明这是定义良好的）。
是 X 中单纯形上的自由群。映射 
现在在复形 
上诱导了一个新的链映射。
（练习：证明这是定义良好的）。
