向量丛，从广义上讲，是一系列向量空间，它们由拓扑空间连续索引。一个重要的例子是流形的切丛。
正式定义如下
定义（向量丛） 拓扑空间上的实向量丛 B {\displaystyle B} 是一个空间 E {\displaystyle E} 以及一个连续映射 p : E → B {\displaystyle p:E\rightarrow B} 具有以下性质
(1) 对于每个 b ∈ B {\displaystyle b\in B} ， p − 1 ( b ) {\displaystyle p^{-1}(b)} 与 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} 同构。
(2) B {\displaystyle B} 被开集覆盖 U i {\displaystyle U_{i}} 使得存在同胚 h i : p − 1 ( U i ) → U i × R n {\displaystyle h_{i}:p^{-1}(U_{i})\rightarrow U_{i}\times \mathbf {R} ^{n}} 以及 h i ∘ h j − 1 U i ∩ U j × R n → U i ∩ U j × R n {\displaystyle h_{i}\circ h_{j}^{-1}U_{i}\cap U_{j}\times \mathbf {R} ^{n}\rightarrow U_{i}\cap U_{j}\times \mathbf {R} ^{n}} 在第一个因子上是恒等式，在第二个因子上是线性同构。
用 C {\displaystyle \mathbf {C} } 替换 R {\displaystyle \mathbf {R} } ，我们得到了复向量丛的定义。
我们称 E {\displaystyle E} 为向量丛的全空间， B {\displaystyle B} 为基空间。
可以定义一个光滑向量丛如下
E {\displaystyle E} 和 B {\displaystyle B} 必须是光滑流形，并且之前定义中出现的每个映射都必须是光滑的。
正如我们之前所说，光滑流形的切丛是一个光滑向量丛。
