三角学/四边形面积

取任意四边形 ABCD。写 AB=a，BC=b，CD=c，DA=a；σ = ¹⁄₂(a+b+c+d)；四边形 ABCD 的面积 = S。

注意 a+b+c-d = 2(σ-d)，其他边类似。

ABCD 的对角线为 AC 和 BD。设它们之间的角度为 θ。那么 S = ¹⁄₂AC.BD.sin(θ)。

如果 ABCD 是凸的，且对角线在 P 点相交，这很容易通过考虑四个三角形 ABP、BCP、CDP、DAP 来证明，因为 S 是这四个三角形面积之和。如果 ABCD 不是凸的，那么其中一个顶点，比如 C，必须位于三角形 ABD 内部。然后我们发现 S 是 ABD 的面积减去 BCD 的面积。

设角度 A+C = 2α。要根据边和 alpha 找到 S；。

我们可以通过对三角形 BAD、BCD 中的任意一个应用余弦定理来找到 BD²。这意味着

a²+d²-2ad.cos(A) = b²+c²-2bc.cos(C)

所以

a²+d²-b²-c² = 2ad.cos(A)-2bc.cos(C) ... (i)

还有

S = area(BAD) + area(BCD) = ¹⁄₂ad.sin(A) + ¹⁄₂bc.sin(C)

所以

4S = 2ad.sin(A) + 2bc.sin(C) ... (ii)

取 (ii)² + (i)²,

16S² + (a²+d²-b²-c²)² = 4a²d² + 4b²c² - 8abcd.cos(A+C)

但是

cos(A+C) = cos(2α) = 2cos²(α)-1

所以

16S² = 4(ad+bc)² - (a²+d²-b²-c²)² - 16abcd.cos²(α).

简化后，

S² = (σ-a)(σ-b)(σ-c)(σ-d) - abcd.cos²(α).

对于圆内接四边形，这个表达式变得更简单，因为此时 cos(α) = 0，所以最后一项消失。

圆内接四边形的对角线和外接圆半径

在上面的表达式 (i) 中，对于圆内接四边形 cos(C) = -cos(A)，所以

$2(ad+bc)\cos(A)=a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}$.

根据余弦定理，

$BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad.\cos(A)=a^{2}+d^{2}-{\frac {ad(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})}{ad+bc}}={\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$.

类似地，

$AC^{2}={\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{ab+cd}}$.

因此 AC.BD = ac+bd（正如我们已经知道的），以及

${\frac {AC}{BD}}={\frac {ad+bc}{ab+cd)}}$.

ABCD 的外接圆也是三角形 ABD 的外接圆，所以

$R={\frac {BD}{2\sin(A)}}={\frac {(ad+bc)BD}{2(ad+bc)\sin(A)}}={\frac {(ad+bc)BD}{4S}}={\frac {1}{4S}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}$.

$\tan ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)={\frac {(\sigma -a)(\sigma -b)}{(\sigma -c)(\sigma -d)}}$.

进一步的结果

如果一个四边形是外接圆的，即可以内接一个圆，使圆与四边相切，那么 a+c=b+d。这很容易证明，因为从一点到圆的两个切线的长度相等。

内接圆的半径称为内切圆半径，等于 S/σ。

定理：如果一个四边形 ABCD 既是圆内接四边形又是圆外接四边形，那么

$\tan ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)={\frac {bc}{ad}}$.

证明：由于 ABCD 是圆内接四边形，

$\cos(A)={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}}$.

由于 a+c=b+d，a-d=b-c，即 a²+d²-b²-c² = 2(ad-bc)。因此

$\cos(A)={\frac {ad-bc}{ad+bc}}$

$\tan ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)={\frac {1-\cos(A)}{1+\cos(A)}}={\frac {bc}{ad}}$.

如果一个四边形 ABCD 既是圆内接四边形又是圆外接四边形，那么它的面积是 √(abcd)，内切圆半径是 2√(abcd)/(a+b+c+d)。