三角学/第二册导言

在第一册中，我们使用代数公式来处理三角形。

从A到B的向量AB

本书加深了对三角形和圆之间众多关系的理解。它还展示了如何解决一些更难的三角函数恒等式。除了更多的代数之外，我们使用和发展的主要额外数学工具是3D向量。

从向量开始

三维空间中的一个点$\displaystyle P$由三个坐标给出，$\displaystyle P=(x,y,z)$。这与二维空间中的点没有太大区别，二维空间中的点是$\displaystyle (x,y)$。

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如果我们有两个点，$\displaystyle P$和$\displaystyle Q$，我们可以使用不同的符号来表示它们的坐标。$\displaystyle P_{x},P_{y},P_{z}$表示$\displaystyle P$，$\displaystyle Q_{x},Q_{y},Q_{z}$表示$\displaystyle Q$。

当我们更关注两个点之间的相对位移时，我们倾向于使用$\displaystyle V$和$\displaystyle W$作为我们的名称，并将$\displaystyle V$和$\displaystyle W$称为向量。

这与三角学有什么关系？

如果我们有向量$\displaystyle V$和$\displaystyle W$，当我们计算以下数量时，就会用到三角学，这个数量称为“点积”，记为$\displaystyle V\cdot W$

$\displaystyle V\cdot W=V_{x}W_{x}+VyW_{y}+V_{z}W_{z}$

事实证明，这个点积是两个向量的长度的乘积乘以这两个向量之间夹角的余弦。我们将用两个互相垂直的向量来尝试一下。

示例：两个垂直向量 我们选择$\displaystyle V=(1,3,4)$ 和 $\displaystyle W=(6,-2,0)$，则 $\displaystyle V\cdot W=V_{x}W_{x}+VyW_{y}+V_{z}W_{z}$ $\displaystyle =1\times 6+3\times -2+4\times 0=6-6+0=0$ 这两个向量都没有长度为零，但点积为零。这意味着这两个向量之间夹角的余弦为零，这两个向量之间的夹角为90度，因此这两个向量互相垂直。

练习：向量与自身的点积 “向量与自身之间的夹角”为零。这个角度的余弦是多少？ 两个向量的点积是“两个向量的长度的乘积乘以这两个向量之间夹角的余弦”。如果这两个向量是同一个向量，我们如何简化这个陈述？ 我们还有 $\displaystyle V\cdot V=V_{x}V_{x}+VyV_{y}+V_{z}V_{z}=(V_{x})^{2}+(V_{y})^{2}+(V_{z})^{2}$ ……你可以将它与勾股定理联系起来，当然是在三维空间中。我们刚刚看到的是，点积公式与三角学密切相关。

应用

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添加一些应用（和图片），就像第一册一样。

关于第二册

第二册，像第一册一样，只处理可以在没有微积分的情况下处理的三角学方面。但是，代数的节奏比第一册快。这些主题在理解三角学方面不如第一册那么重要。