三角学/计算π

计算π的各种公式可以从$\arctan(x)$ 的幂级数展开式得到。

由于$\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$ ，我们有

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$

这个公式（由戈特弗里德·莱布尼茨提出）收敛速度太慢，无法实际使用。但是，可以找到收敛速度快得多的类似公式。约翰·马钦（1680-1752）证明了

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan \left({\tfrac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\tfrac {1}{239}}\right)$ .

这个公式被手持计算器广泛使用。右边第一部分很容易计算，因为求${\frac {1}{5^{n}}}$ 涉及非常简单的除法，而第二部分只需要 50 项就能计算出 240 位小数。

莱昂哈德·欧拉（1707-1783）证明了

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan \left({\tfrac {1}{7}}\right)+2\arctan \left({\tfrac {3}{79}}\right)$ .

斯特默证明了

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan \left({\tfrac {1}{8}}\right)+2\arctan \left({\tfrac {1}{57}}\right)+\arctan \left({\tfrac {1}{239}}\right)$ ,

这个公式在 1962 年被用来将$\pi$ 计算到超过 100,000 位小数。