三角学/圆和三角形/外接圆

三角形的外接圆是经过三角形三个顶点的唯一圆形。

外接圆的圆心称为外心。它是三条边的垂直平分线的交点。这可以通过以下方式解释

• 每条边的垂直平分线是到边两端点距离相等的点的轨迹，例如，${\overline {AB}}$ 的垂直平分线上的所有点都与点 A 和点 B 的距离相等。
• 在 ${\overline {AB}}$ 的垂直平分线上，点到 A 和 B 的距离相等。在 ${\overline {BC}}$ 的垂直平分线上，点到 B 和 C 的距离相等。这两条垂直平分线相交的点到 A 和 B 的距离相等，并且到 B 和 C 的距离相等。因此，该交点的距离到 A 与它到 B 的距离相等，也与它到 C 的距离相等。因此，它到 A 和 C 的距离相等，因此它位于 ${\overline {AC}}$ 的垂直平分线上。
• 三条垂直平分线相交的点到 A、B 和 C 的距离相等。因此，以该点为圆心的圆形可以经过所有三个点。

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  锐角三角形的外心位于三角形内部
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  直角三角形的外心位于斜边上
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  钝角三角形的外心位于三角形外部

该圆形的半径（外接圆半径，通常用 R 表示）如下求得：如果 a 是三角形的任何一边，A 是该边所对的角，则 $R={\frac {a}{2\sin(A)}}$。为了证明这一点，考虑一个三角形，其中两条边是外接圆的半径，第三条边是长度为 a 的边。该三角形是等腰三角形（因为所有半径的长度都相等），两条半径之间的夹角是 2A，因为圆心角是圆周角的两倍。该公式从对该三角形的简单三角函数应用得出。

根据正弦定理，从所有三边都可以得到相同的 R 值。

如果另外两条边是 b 和 c，则三角形的面积 Δ 为 ${\frac {bc}{2}}\sin(A)$。将这两个公式相乘，得到 $\Delta R={\frac {abc}{4}}$。

用 2Rsin(A) 等替换 a，得到

Δ = 2R²sin(A)sin(B)sin(C)。

当且仅当所有角都为锐角时，外心位于三角形内部。对于直角三角形，它位于斜边的中点；如果有一个角为钝角，它位于三角形外部。外接圆是包含锐角三角形的最小圆形。对于钝角三角形，以最长边为直径的圆形更小。（对于直角三角形，这两个圆形相同。）