三角学/圆与三角形/外心三角形

设 ABC 为一个三角形，其内心为 I，三个外心分别为 I_a、I_b 和 I_c。然后 I_aI_bI_c 是 ABC 的外心三角形。

A 位于 I_bI_c 线上，是从 I_a 到该线的垂线的垂足，B 和 C 同理。因此 ABC 是其外心三角形的垂足三角形（参见后面）。此外，这些垂线在 I 点相交，所以 I 是外心三角形的垂心。

I 和 I_a 位于角 BAC 的平分线上，其他外心同理。

四边形 IBCI_a、IACI_b 和 IABI_c 是圆形的。

I_a 是三角形 I_bI_cI 的垂心，其他外心同理。

距离 II_a 为 4Rsin(^A⁄₂)，其他外心同理。

外心三角形的性质

这个三角形的角是 $90^{0}-{\frac {A}{2}},90^{0}-{\frac {B}{2}}{\text{ and }}90^{0}-{\frac {C}{2}}$.

它的边是 $4R\cos \left({\frac {A}{2}}\right),4R\cos \left({\frac {B}{2}}\right),4R\cos \left({\frac {C}{2}}\right)$.

它的面积是 $8R^{2}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\cos \left({\frac {C}{2}}\right)=2Rs=\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta {\text{cosec}}\left({\frac {A}{2}}\right){\text{cosec}}\left({\frac {B}{2}}\right){\text{cosec}}\left({\frac {C}{2}}\right)$

其中 Δ 是原始三角形的面积。

它的外接圆半径是 2R。