三角学/圆与三角形/垂足三角形

对于任意三角形 ABC，分别过每个顶点作垂线，垂线交对边于 G、H、K。如上所述，垂线交于三角形的垂心 O。三角形 GHK 为 ABC 的垂足三角形。O 为其内心，ABC 为其外心三角形。如果 ABC 为直角三角形，则所有垂线都过直角，垂足三角形为一个点。

在四边形 BKOG 中，K 和 G 处的角按定义为直角，因此 BKOG 是圆内接四边形；类似地，AHOK 和 CGOH 也是圆内接四边形。

如果 ABC 不是钝角三角形，且边长分别为 a、b 和 c，则 GHK 的角分别为 180º-2A、180º-2B 和 180º-2C，边长分别为 a.cos(A)、b.cos(B) 和 c.cos(C)。如果 ABC 的外接圆半径为 R，则可以将边长写成 Rsin(2A)、Rsin(2B) 和 Rsin(2A)。如果 ABC 为钝角三角形，C 为钝角，则 GHK 的角分别为 2A、2B 和 2C-180º，第三边为 -c.cos(C)。

垂足三角形的性质

GHK 的面积为 ¹⁄₂(两边乘积)(夹角正弦) = ¹⁄₂Rsin(2B).Rsin(2C).Rsin(180-2A) = ¹⁄₂R².sin(2A).sin(2B).sin(2C)。

GHK 的外接圆半径为 ${HK \over {2\sin(HGK)}}={{R\sin(2A)} \over {2\sin(180^{0}-2A)}}={R \over 2}.$

GHK 的外接圆称为 ABC 的九点圆。

周长为 4Rsin(A)sin(B)sin(C)。内切圆半径为 2Rcos(A)cos(B)cos(C)，三个外接圆半径分别为 2Rcos(A)sin(B)sin(C)、2Rsin(A)cos(B)sin(C) 和 2Rsin(A)sin(B)cos(C)。

${\frac {OG}{AG}}+{\frac {OH}{BH}}+{\frac {OK}{CK}}=1$.

如果边长分别为 g、h 和 j，则

${\frac {g}{a^{2}}}+{\frac {h}{b^{2}}}+{\frac {j}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2abc}}$.