三角学/余割、正割、余切

倒数恒等式

余割 ($\csc$)，正割 ($\sec$) 和余切 ($\cot$) 函数是“便利”函数，仅仅是正弦、余弦和正切的倒数（即 1 除以）。所以

$\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

$\cot(x)={\frac {1}{\tan(x)}}$

请注意，余割是正弦的倒数，而从名称上你可能期望它是余弦的倒数！

所有可以用这些便利函数完成的事情，都可以通过完全写出 $\sin$ 、$\cos$ 和 $\tan$ 的倒数来完成。

除非你计划做大量的三角学并熟悉使用 $\csc$ 、$\sec$ 和 $\cot \,$，以便你可以快速操作，通常最好坚持使用 $\sin$ 、$\cos$ 和 $\tan$ 。只需识别这些函数并能够在它们之间进行转换，以防你必须回答的问题用它们来表述。

比率恒等式

因为

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

并且因为余切的定义，

$\cot(x)={\frac {1}{\tan(x)}}={\frac {1}{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$

$\cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$

练习：倒数三角函数的值 使用定义和您已经了解的关于正弦、余弦和正切的知识 $\sec(x)$ 可以接近多少？ $\cot(x)$ 呢？

倒数三角函数的三角形

正弦和余弦

正切和正割

余切和余割

上面的图表显示了三个与三角函数相关的三角形。第一个应该从正弦和余弦的定义中熟悉。其余两个是通过 (a) 将所有边除以 $\cos(\theta )$ ，以及 (b) 将所有边除以 $\sin \theta )$ 获得的。

因为这些都是直角三角形，所以我们可以直接从这些三角形中读出毕达哥拉斯定理的变体。

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

$\tan ^{2}(\theta )+1=\sec ^{2}(\theta )$

$1+\cot ^{2}(\theta )=\csc ^{2}(\theta )$

毕达哥拉斯关系

毕达哥拉斯关系也可以在没有图表的情况下推导出来。

从

$\sin ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)=1$

我们可以除以 $\cos ^{2}(a)$ 得到

${\frac {\sin ^{2}(a)}{\cos ^{2}(a)}}+1={\frac {1}{\cos ^{2}(a)}}$

使用正切和正割的定义，它就是

$\tan ^{2}(a)+1=\sec ^{2}(a)$

---

或者，从

$\sin ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)=1$

我们也可以除以 $\sin ^{2}(a)$ 得到

$1+{\frac {\cos ^{2}(a)}{\sin ^{2}(a)}}={\frac {1}{\sin ^{2}(a)}}$

根据余切和余割的定义，可以得到

$1+\cot ^{2}(a)=\csc ^{2}(a)$

---

这些公式可以重新排列，使 1 在等号的一侧单独出现，例如从正切关系可以得到

$\sec ^{2}(a)-\tan ^{2}(a)=1$

以及从余切关系可以得到

$\csc ^{2}(a)-\cot ^{2}(a)=1$

记住公式

不需要刻意记忆这些公式。这些公式并没有真正告诉我们任何新的东西。你应该能够从 $\sin ^{2}(a)+\cos ^{2}(a)=1$ 关系中快速推导出它们。

代数快速检查

代数检查 值得快速检查一下这些公式是否合理。符号错误很容易发生。以最后一个包含 $\tan$ 的公式为例。 $\sec ^{2}(a)-\tan ^{2}(a)=1$ 我们知道可以做一个直角三角形，其中一个角为 $45^{\circ }$，边长分别为 1, 1 和 ${\sqrt {2}}$，因此 $\tan(45^{\circ })={\frac {\rm {opposite}}{\rm {adjacent}}}=1$ . $\cos(45^{\circ })={\frac {\rm {adjacent}}{\rm {hypotenuse}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 因此，令 $a=45^{\circ }$ 。 $\sec(a)={\frac {1}{\cos(45^{\circ })}}={\sqrt {2}}$ 以及 $\sec ^{2}(a)={\sqrt {2}}^{2}=2$ $\tan ^{2}(a)=1^{2}=1$ 将这些值代入方程，$\sec ^{2}(a)-\tan ^{2}(a)=1$ 。看起来没问题。 $45^{\circ }$ 可能不是一个好的选择，因为它无法区分 $\sin$ 和 $\cos$，但你应该能理解检查方程是否合理的一般思路。

变化角度的关系

互余角 由于 $\cos(a)=\sin(90^{\circ }-a)$，因此可得出（两边取倒数） $\sec(a)=\csc(90^{\circ }-a)$ 或 $\csc(a)=\sec(90^{\circ }-a)$。同时， $\cot(a)={\frac {\cos(a)}{\sin(a)}}={\frac {\sin(90^{\circ }-a)}{\cos(90^{\circ }-a)}}=\tan(90^{\circ }-a)$ .

练习：周期性及其他关系 由于 $\cos(-x)=\cos(x)$ 因此可得出 $\sec(-x)=\sec(x)$ 如果需要，请完整地写出缺失的步骤。 填写右侧的缺失表达式 $\csc(-x)=$ $\sec(180^{\circ }+x)=$ $\csc(x-180^{\circ })=$ $\csc(90^{\circ }-\beta )=$ $\sec(90^{\circ }-\beta )=$ ${\frac {1}{\cot(180^{\circ }-\theta )}}=$ $\sec(90^{\circ }-\alpha )=$ $\csc(2\theta )=$ 您之后可能需要使用后面页面上给出的倒数函数的图形来检查您的答案。