三角函数/Cosh、Sinh 和 Tanh

函数 cosh x、sinh x 和 tanh x 与矩形双曲线 y² = x² - 1 之间的关系与圆函数与圆 y² = 1 - x² 之间的关系非常相似。因此，它们有时被称为 双曲函数（h 代表 双曲）。

符号和发音 $\displaystyle \cosh$ 是 'cosine hyperbolic' 的缩写，而 $\displaystyle \sinh$ 是 'sine hyperbolic' 的缩写。 $\displaystyle \sinh$ 读作 sinch， $\displaystyle \cosh$ 读作 'cosh'，正如您所预期的那样， 而 $\displaystyle \tanh$ 读作 tanch。

[矩形双曲线的图示]

定义

它们被定义为

$\cosh(x)={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x});\,\,\sinh(x)={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x});\,\,\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}$

等效地，

$\displaystyle e^{x}=\cosh(x)+\sinh(x);\,\,e^{-x}=\cosh(x)-\sinh(x)$

倒数函数可以以明显的方式定义

$\operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}};\,\,\operatorname {cosech} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}};\,\,\coth(x)={\frac {1}{\tanh(x)}}$

1 - tanh²(x) = sech²(x); coth²(x) - 1 = cosech²(x)

很容易证明 $\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$，类似于结果 $\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1.$ 因此，sinh(x) 的绝对值始终小于 cosh(x)。

sinh(-x) = -sinh(x); cosh(-x) = cosh(x); tanh(-x) = -tanh(x)。

它们的取值范围与相应的圆函数有很大区别

• cosh(x) 在 x = 0 时取最小值 1，并且当 x 趋于正负无穷大时趋于无穷大；
• sinh(x) 在 x = 0 时为零，当 x 趋于正无穷时趋于正无穷，当 x 趋于负无穷时趋于负无穷；
• tanh(x) 在 x = 0 时为零，当 x 趋于正无穷时趋于 1，当 x 趋于负无穷时趋于 -1。

[添加图形]

加法公式

有与圆函数非常相似的结果；它们很容易从 cosh 和 sinh 的定义直接证明

sinh(x±y) = sinh(x)cosh(y) ± cosh(x)sinh(y)

cosh(x±y) = cosh(x)cosh(y) ± sinh(x)sinh(y)

反函数

如果 y = sinh(x)，我们可以定义反函数 x = sinh^-1y，cosh 和 tanh 也是如此。sinh 和 tanh 的反函数对于所有 x 都是唯一定义的。对于 cosh，反函数在 y 小于 1 时不存在。对于 y = 1，x = 0。对于 y > 1，将有两个对应的 x 值，其绝对值相等但符号相反。通常，将使用正值。从函数的定义来看，

$\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

$\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$

$\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

简化 cosh(x) + b sinh(x)

如果 a > |b| 则

$\displaystyle a\cosh(x)+b\sinh(x)={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\cosh(x+c)$ 其中 :$\displaystyle \tanh(c)={\frac {b}{a}}$

如果 |a| < b 则

$\displaystyle a\cosh(x)+b\sinh(x)={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\sinh(x+d)$ 其中 :$\displaystyle \tanh(d)={\frac {a}{b}}$

与复数的关系

• $\cos(ix)=\cosh(x)$
• $\cos(x)=\cosh(ix)$

• $\sin(ix)=i\sinh(x)$
• $i\sin(x)=\sinh(ix)$

• $\tan(ix)=i\tanh(x)$
• $i\tan(x)=\tanh(ix)$

加法公式和其他结果可以从这些关系中证明。

戈德曼函数

Gudermann 函数（以克里斯托弗·古德曼（Christoph Gudermann，1798–1852）命名）定义为 gd(x) = tan^-1(sinh(x))。它具有以下性质：

• gd(0) = 0;
• gd(-x) = -gd(x);
• 当 x 趋于无穷大时，gd(x) 趋于 ¹⁄₂π；当 x 趋于负无穷大时，gd(x) 趋于 -¹⁄₂π。

逆函数 gd^-1(x) = sinh^-1(tan(x)) = ln(sec(x)+tan(x))。

微分

由上述定义可以证明：

${\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x);\,\,{\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x);\,\,{\frac {d}{dx}}\tanh(x)=sech^{2}(x);\,\,{\frac {d}{dx}}gd(x)=sech(x)$

我们还有：

${\frac {d}{dx}}\sinh ^{-1}(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}};\,\,{\frac {d}{dx}}\cosh ^{-1}(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}};\,\,{\frac {d}{dx}}\tanh ^{-1}(x)={\frac {1}{1-x^{2}}};\,\,{\frac {d}{dx}}gd^{-1}(x)=\sec(x)$.