三角函数/反函数的导数

反函数 $\arcsin(x)$ 等，其导数都是纯代数函数。

如果 $y=\arcsin(x)$ 那么 $x=\sin(y)$ 并且

${\frac {dx}{dy}}=\cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$ .

所以

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

类似地，

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}\arccos(x){\bigr ]}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ .

如果 $y=\arctan(x)$ 那么 $x=\tan(y)$ 并且

${\frac {dx}{dy}}=\sec ^{2}(y)=1+\tan ^{2}(y)=1+x^{2}$ .

所以

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

如果 $y=\operatorname {arcsec}(x)$ 那么 $x=\sec(y)$ 并且

${\frac {dx}{dy}}=\sec(y)\tan(y)=x{\sqrt {x^{2}-1}}$ .

所以

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

幂级数

以上结果提供了一种简单的方法来找到这些函数的幂级数展开式。

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {5x^{6}}{16}}+{\frac {35x^{8}}{128}}+\cdots$

如果 $|x|<1$，该级数一致收敛，因此可以逐项积分。积分常数为零，因为 $\arcsin(0)=0$，所以

$\arcsin(x)=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+{\frac {5x^{7}}{112}}+{\frac {35x^{9}}{1152}}+\cdots$

${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots$

如果 $|x|<1$，该级数一致收敛，因此可以逐项积分。积分常数为零，因为 $\arctan(0)=0$，所以

$\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$

请注意，$\operatorname {arcsec}(x)$ 在$x=0$ 处没有幂级数展开式，因为它在$x<1$ 时未定义，并且在$x=1$ 时导数无穷大。关于任何点$x=a>1$ 的展开式，可以用泰勒定理求得；它将在$1<x<2a-1$ 范围内收敛。