三角学/为爱好者/毕达哥拉斯定理的推广

任意三角形

由 萨比特·伊本·库拉 推广的毕达哥拉斯定理。 底部面板：三角形 ABD（顶部）的反射形成三角形 DBA，与三角形 ABC（顶部）相似。

在任意三角形（边长分别为 a, b, c）中，选择一个角，并内接一个等腰三角形，使等腰三角形的底角 θ 等于所选的角。假设所选的角 θ 与边 c 相对。内接等腰三角形形成三角形 ABD，其角 θ 与边 a 相对，且其边 r 位于边 c 上。如图所示，第二个三角形形成，其角 θ 与边 b 相对，且其边长为 s 位于边 c 上。 萨比特·伊本·库拉 指出这三个三角形的边之间存在如下关系：

$a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .$

当角 θ 接近 π/2 时，等腰三角形的底边越来越窄，长度 r 和 s 的重叠越来越少。当 θ = π/2 时，ADB 成为直角三角形，r + s = c，从而恢复了原来的毕达哥拉斯定理。

一个证明观察到三角形 ABC 与三角形 ABD 的角度相同，但顺序相反。（这两个三角形在顶点 B 共用一个角，都包含角 θ，因此根据 三角形公理 也有相同的第三个角。）因此，ABC 与 ABD 的反射（即底部面板中的三角形 DBA）相似。将与 θ 相对的边与相邻的边之比，

${\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}}\ .$

类似地，对于另一个三角形的反射，

${\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\ .$

消去分数并加这两个关系

$cr+cs=a^{2}+b^{2}\ ,$

得到所需的结果。

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