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球面三角形

球面三角形是球面上由三个大圆弧所围成的部分。（关于大圆的讨论，参见纽约到东京的距离。）由于球面是弯曲的，三角形的公式不适用于球面三角形。特别地，三个角的和总是大于$180^{\circ }$ 或 $\pi$ 弧度。

三个角之和超过 $\pi$ 的弧度被称为三角形的球面面积，它与三角形的面积成正比。因此，对于非常小的三角形，面积很小，三个角的和接近 $\pi$ 弧度，反映了球面上的很小一部分并不明显弯曲。这就是为什么普通三角学（假设你在一个平面上工作）对于地球表面上的短距离足够精确的原因。

边长通常表示为该边在球心处所张成的角，因此边长和角都用度或弧度表示，我们可以讨论边的正弦或余弦以及角的正弦或余弦。

正弦定理

这类似于普通三角形的正弦定理。如果边长为 $a,b,c$，角为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，则

${\frac {\sin(a)}{\sin(\alpha )}}={\frac {\sin(b)}{\sin(\beta )}}={\frac {\sin(c)}{\sin(\gamma )}}$

练习：与平面三角形的正弦公式进行比较 对于单位球面上的小三角形 $\sin(\alpha )\approx \alpha$，前提是我们用弧度测量，并且我们可以通过取足够小的三角形来使百分比误差尽可能小。因此，当三角形变得非常小时，我们接近平面三角形的正弦公式。 对于一个具有三个直角的球面三角形，它是一个大三角形，占据了球面表面积的 ${\tfrac {1}{8}}$，即使应用于球面三角形，平面三角形的正弦公式仍然正确！ 那么，如果应用于球面三角形，平面三角形公式的误差最大时是什么情况？

余弦定理

尽管它的名字，它看起来并不像普通三角形的余弦定理。使用上述符号，

$\cos(a)=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(\alpha )$

特别地，如果 $\alpha$ 是一个直角，所以 $\cos(\alpha )=0$，这个公式变成

$\cos(a)=\cos(b)\cos(c)$

这可以看作是勾股定理的类似物。

与平面三角形的勾股定理比较 对于单位球面上的小三角形 $\cos(\alpha )\approx 1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}$，再次提供我们在弧度制下测量，并且我们可以通过取一个足够小的三角形来使误差百分比尽可能小。将此近似值应用于勾股定理的类似物，我们得到 $1-{\frac {a^{2}}{2}}=\left(1-{\frac {b^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {c^{2}}{2}}\right)\approx 1-{\frac {b^{2}}{2}}-{\frac {c^{2}}{2}}$ 或者 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 因此，当三角形非常小时，我们接近平面三角形的勾股定理。

当然，还有类似的公式涉及 $\beta$ 或 $\gamma$，而不是 $\alpha$。因此，如果已知球面三角形的两条边及其夹角，我们可以从该公式中求出第三条边。如果已知所有三条边，我们可以从该公式和类似公式中求出所有三个角。

半角公式

让 $s={\frac {a+b+c}{2}}$。然后

$\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin(b)\sin(c)}}}$

$\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {\sin(s)\sin(s-a)}{\sin(b)\sin(c)}}}$

$\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin(s)\sin(s-a)}}}$

以及类似的公式用于 $\beta ,\gamma$。

极三角形

如果球面三角形的顶点是$ABC$ ，其边$BC$ 所在的大圆将球面分成两个半球，每个半球的中心都有一个极点，就像赤道将地球分成北半球和南半球，每个半球都有一个极点一样。设$A'$ 是包含$A$ 的半球的极点。类似地，我们可以定义$B'$ 和$C'$ 。$A'B'C'$ 是$ABC$ 的极三角形，它的边是$a',b',c'$ 。那么

$A'=180^{\circ }-a\ ;\ B'=180^{\circ }-b\ ;\ C'=180^{\circ }-c$

$a'=180^{\circ }-A\ ;\ b'=180^{\circ }-B\ ;\ c'=180^{\circ }-C$

注意： 我们需要证明所有这些定理。